سلسلة الدوال المثلثية لمجموع وفرق بين قياسى زاويتين

السؤال الأول
بدون إستخدام الألة الحاسبة
أوجد حتا 105 حتا 15 +حا105 حا15 = حا(105 -15 )
حا90 = صفر

السوال الثانى
حا87 حتا 27 - حتا87 حا27
الحل
جا (87- 27 ) = حا60 = (جذر3)/2

السؤال الثالث
جا 12 جتا 78 +جتا 12 جتا 12
الحل
ملحوظة جتا12 = حا78
جا 12 جتا 78 +جتا 12 حا78
حا (12 +78)= حا90 = 1

السؤال الثالث
طا 30 ْ +طا 15 ْ
ـــــــــــــــــــــــــ
1 - طا30 ْ طا15 ْ

لحل = طا( 30 +15)= طا45 ْ = 1

السؤال الرابع
جا(أ + ب) - جا(أ - ب)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حتاأ حتا ب
الحل
حاأ حتاب + حتاأ حاب - حاأ حتاب +حتاأ حاب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حتاأ حتاب

2حتاأ حاب
ـــــــــــــــ
حتاأ حتاب
2طاب

السؤال الخامس
أوجد
حا75 = جا (45 +30 ) = حا45 حتا30 +حتا45 حا30
أكمل الحل

السؤال السادس
أثبت أت حا35 +جتا 65 = حتا5
الحل
الطرف الأيمن حا35 +حا25
الطرف الأيمن حا(30 + 5)+ حا(30 - 5)
حا30 حتا5 +حتا30 حا5 + جا30 جتا5 - حتا30 حا5
2حا30 حتا5 = 2(1/2)حتا5 = حتا5

السؤال السابع
فى المثلث أب ح أثبت أن طا أ + طا ب + طا ح = طاأ طا ب طاح
الحل
مجموع زوايا المثلث أ ب ج = 180
أ + ي + ح = 180
أ + ب= 180 - ح بأخذ طا الطرفين
طا(أ + ب) = طا (180 - ح )
(طاأ + طاب )/(1 - طا أ طا ب )= -طاح
طاأ + طا ب = - طاح + طاأ طا ب طا ح
طاأ + طا ب + طاح =طاأ طا ب طا ح

السؤال الثامن
فى المثلث أ ب ح أثبت ان
حا((أ +ب)/2 ) جتا( ح/2)+ حتا ( ( أ + ب )/2 ) حا(ح/2 )= 1
الحل

أ + ي + ح = 180
أ + ب= 180 - ح
جا (90 -ح/2 )حتا (ح/2) + حتا ( 90- ح/2 ) حا(خ/2)
حا90 =1

السؤال التاسع
فى المثلث أب ح أثبت أن طنا أ طتا ب+ طتا ب طتاح + طتا ح طتا أ = 1
الحل
مجموع زوايا المثلث أ ب ج = 180
أ + ي + ح = 180
أ + ب= 180 - ح
طا(أ + ب) = طا (180 - ح )
(طاأ + طاب )/(1 - طا أ طا ب )= -طاح
طاأ + طا ب = - طاح + طاأ طا ب طا ح
طاأ + طا ب + طاح =طاأ طا ب طا ح
بالقسمة على طاأ طا ب طا ح
(1/ طا ب طا ح )+(1/ طاأ طاح)+(1/ طاأ طاب )= 1
اذا طنا أ طتا ب+ طتا ب طتاح + طتا ح طتا أ = 1

السؤال العاشر
اذا كانت أ +ب + ح = 90 ْ أثبت أن طاأ طاب + طاأ طاح + طاب طاح = 1
الحل
أ + ب = 90 ْ - ح بأخذ طا الطرفين
طا(أ + ب) = طا ( 90 ْ - ح )
(طاأ + طاب )/(1 - طاأ طاب )= طتاح
(طاأ + طاب )/(1 - طاأ طاب )=1/طاح
طاأ طا ج + طاب طاح = 1 - طاأ طاب
طاأ طاب + طاأ طاح + طاب طاح = 1

السؤال الحادى عشر
اذا كانت أ +ب + ح = 90 ْ أثبت أن طتا ج + طتا ب + طتا أ=طتا أ طتا ب طتا ج
الحل نسير فى المسألة كما السابقة
ثم نقسم على طاأ طا ب طاج
تصل للحل

سلسلة الدوال المثلثية لمجموع وفرق بين قياسى زاويتين

السؤال الثالث عشر

السؤال الرابع عشر


السؤال الخامس عشر

السادس عشر
أثبت ان
(جاأ + جتا أ )( حاب + جتا ب ) + (حتاأ – حاأ )(حتا ب – حاب )= 2حتا (أ – ب )
الحل
حاا حاب + حتاأ حتا ب + حا أ حتا ب + حتا أ حا ب + حتاأ حتا ب+حاا حاب – حا أ حتا ب - حتا أ حا ب)
2 (حتاا حتاب + حاأ حا ب) =2حتا (أ – ب )

السؤال السابع عشر من إعداد الأستاذ على الدين يحى

السؤال الثامن عشر

اذا كان س= جتا أ+جتا ب ، ص= جا أ+جا ب اثبت ان جتا (أ - ب)=(1/2)(س^2+ص^2)_1

الحل
الايسر = 1/2 ( س2 + ص2 ) - 1
= 1/2 ((جتاأ +جتاب)^2 + (جاأ +جاب)^2 ) - 1
=1/2(جتا ^2أ + 2 جتاأ جتاب + جتاب ^2 +جا^2 أ +2 جاأحاب + حا ^2أ ) - 1
ولكن (جاأ)^2 + (جتاأ)^2 = 1
=1/2( 2 + 2 (جتاأ جتاب + جاأحاب) - 1
= 1 + جتاأ حتاب + جاأجاب - 1
= جتاأ جتا ب + جاأ جاب
= جتا (أ - ب )

التاسع عشر
السؤال السادس عشر
إذا كانت طاأ =2 , طاب =3 فأوجد
طا( أ - ب ) , طا( أ + ب )
طاأ – طاب
طا( أ – ب) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 + طا أ طاب
2 -3
طا( أ – ب) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 + 6
-1
=ــــــــــ
7

طاأ + طاب
طا( أ + ب) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 - طا أ طاب
2 +3
طا( أ + ب) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 – 6
5
= ــــــــــــ = -1
-5

اذا كان طاأ = 1/2 , طا ( أ – ب) = 1/7 أوجد طاب , ق ( أ + ب)
الحل

السؤال الحادى والعشرون
إ ذا كان أ هو قياس زاوية حاده موجبة , جا أ = 4/5
أوجد قيمة حتا ( 120 ْ – أ )
الحل

السؤال الثانى والعشرون
إذا كانت س تنتمى فأوجد قيمة س تنتمى [ 0 , 2 ط [
1 - حا س حتا 45 + ْ حتا س حا 45 ْ = 1/2
الحل
حا ( س + 45 ) = 1/2 حا موجبة فى الربع الأول والثانى
س + 45 = 30 ، س + 45 = 150
س= - 15 ْ = 345 , س= 105 ْ

2 - جا ( 60 ْ + س) = 2 حا س
حا 60 ْ حتا س + حتا 60 ْ حاس = 2 حاس
(جذر 3 /2 )حتاس + (1/2)حا س = 2حاس بالضرب × 2
جذر 3 حتاس = 3 حاس بتربيع الطرفين
3 حتا^2س = 9 حا^2س ولكن حتا^2 س = 1 - حا^2 س
اذا 3 - 3 حا^2 س = 9 حا^2س
12 حا^2س = 3 ومنها حا^2س = 1/4
حاس = (-1/ 2 ) , حاس =(1/ 2)
س= 210 ْ , س= 330 ْ لاتحقق المعادلة س= 30 , س= 150 ْ لاتحقق المعادلة
حل أخر
حا 60 ْ حتا س + حتا 60 ْ حاس = 2 حاس
(جذر 3 /2 )حتاس + (1/2)حا س = 2حاس بالضرب × 2
جذر 3 حتاس = 3 حاس بالقسمة على 3 حتا س اذا
طاس = 1/جذر 3
س= 30 ْ , س= 210
حل أسهل

الثالث والعشرون

الرابع والعشرون
أثبت أن جا ( أ + ب ) جا ( أ - ب ) = حا^2 أ – حا^2ب
الحل

= ( جا أ جتا ب + جتا أ جا ب ) ( جا أ جتا ب - جتا أ جا ب )
= حا^2 أ حتا^2 ب – حتا^2 ب حا2^2ب )
ولكن حتا^2ب = 1- حا^2ب
= حا^2 أ- حا^2 أ حا^2 ب - حا^2 ب + حا^2 ب حا2^2ب
= حا^2أ – حا^2ب

الخامس والعشرون

اذا كانت 5 حتا (س + ص) = 3 حتا ( س - ص )
فاثبت أن طاس طاص = 0.25
الحل
5 ( حتا س حتا ص - حا س حا ص ) = 3 ( حتا س حتا ص + جاس حاص )

5 حتا س حتا ص - 5حا س حا ص = 3حتا س حتا ص + 3جاس حاص
2 حتا س حتا ص = 8 حا س حا ص بالقسمة على 8 حتا س حتا ص
0.25 = طا س طا ص

السؤال السادس والعشرون
اذا كانت 0< س < 90 ْ أوجد مجموعة حل المعادلة
(جذر 3) حتاس - حاس = 1
الحل
يالقسمة على 2

(جذر3/2) حتاس -(1/2 ) حاس = 1 /2
حتا30 ْ جتاس - حا30 ْ حاس = 1/2
حتا ( 30 ْ + س ) = 1/2 حتا موجبة فى الأول والرابع
30 +س =60 ومنها س= 30 ْ
30 + س= 300 ومنها س= 270 ْ
السؤال السابع والعشرون

السؤال التاسع والعشرون

حل آخر