سلسلة متتابعات حسابية

سلسلة متتابعات حسابية
متتابعه حسابيه فيها
ح(س+1) = م ، ح(ص+1)= ك ، ح(ع+1)= ى
اثبت ان
م( ص-ع) +ك(ع- س)+ى(س- ص) =0


نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
إذن :
م = أ + س د
ك = أ + ص د
ى = أ + ع د

م( ص-ع) + ك(ع- س)+ ى(س- ص) =
= (أ + س د)(ص - ع) + (أ + ص د)(ع - س) + (أ + ع د)(س - ص)
= أ[ ص - ع + ع - س + س - ص] + د[ س ص - س ع + ص ع - س ص + س ع - ص ع] = أ × 0 + د × 0 = 0
حيث أ ، د لا تساويان الصفر

أدخل 20 وسطا حسابيا بين 4 ، 67


نفرض أن المتتابعة الحسابية هى :أ ، أ + د ، أ + 2 د ، .... ، أ + (ن - 1)* د
حيث ن = 20 + 2 = 22 حدا
أ = 4
ل = الحد الأخير = 4 + (22 - 1)* د = 4 + 21 د

67 = 4 + 21 د ... ... ... ... د = 3

الأوساط الحسابية هى :

أ + د = 7
أ + 2 د = 10
...

أ + ( ن - 2)* د = 4 + (22 - 2)* 3 = 64

ح(ن) متتابعة حسابية
ح(6) = 16 ، ح(20) = - 26
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع 20 حدا الأولى منها
نفرض أن :
الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ
الأساس = د

ح(6) = أ + 5 د ................... (1)
ح(20) = أ + 19 د ................... (2)
بحل المعادلتين جبريا ، ينتج أن :
د = - 3 ، أ = 31
وتكون المتتابعة : 31 ، 28 ، 25 ، ...

مجموع 20 حدا الأولى = 20 /10 [ 2 × 31 + 19 × - 3 ] = 50

متتابعة حسابية فيها :

ح ن = ن

ح 2ن = - 2 ن

جـ 3 ن = - 60

أوجد قيمة ن وأوجد المتتابعة نفرض أن الحد الأول للمتتابعة = أ ، الأساس = د

ح ن = أ + (ن - 1)*د = ن ... ومنها ن = (أ - د)/(1 - د)

ح 2ن = أ + (2 ن - 1)*د = - 2 ن ... ومنها ن = - 1/2*(أ - د)م(1 + د)

بالقسمة ... د = - 3

وبالتعويض ... أ = 4 ن - 3

ج 3ن = 3 ن/2*[أ + (3 ن - 1)*د] = - 60

3 ن^2 + 9 ن - 120 = 0 ... ... ... ن = 5

أ = 17

المتتابعة : 17 ، 14 ، 11 ، .

أربعة أعداد تكون متتابعة حسابية مجموعها 32
الحد الرابع يزيد عن الحد الثانى بمقدار 4
أوجد هذه الأعداد ؟

نفرض أن الأعداد هى : أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، (أ + 3 د)

(أ + 3 د) - (أ + د) = 4 ...... ، ومنها : د = 2
4 أ + 6 د = 32 ................ ، ومنها : أ = 5
وتكون الأعداد هى : 5 ، 7 ، 9 ، 11

متتابعة هندسية متزايدة وجميع حدودها موجبة
فإذا كان الوسط الحسابى بين حديها الثانى والرابع = 68
والوسط الهندسى الموجب لهما = 32
أوجد المتتابعة
ح(2) + ح(4) = 2 × 68 = 136 ـــــ> ح(2) = 136 - ح(4)
ح(2) × ح(4) = 32^2 = 1024
بالتعويض عن قيمة ح(2) بدلالة ح(4)
[ 136 - ح(4) ] × ح(4) = 32^2 = 1024
وبحل المعادلة جبريا وهى معادلة من الدرجة الثانية فى ح(4) ، باستخدام القانون العام ، ينتج أن :
ح(4) = 128 ...... ، ومنها : ح(2) = 8

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الهندسية = أ ، الأساس = ر
أ × ر = 8
أ × ر^3 = 128
بالقسمة : ــــــ> ر = 4 ، ومنها : أ = 2

المتتابعة هى :

2 ، 8 ، 32 ، 128 ، ...
__________________

أوجد قيمة س في المعادلة

1 + 7 + 13 + ................ + س = 280
المعادلة هى متتابعة حسابية ، فيها :

الحد الأول = 1
الأساس = 6
مجموع الحدود = 280
الحد الأخير = س

نفرض أن :
عدد الحدود = ن

س = 1 + (ن - 1) × 6 = 6 ن - 5

280 = (ن/2)*[1 + 6 ن - 5] = (ن/2)*(6 ن - 4)
ومنها : ن = 10

س = 6 ن - 5 = 55

للتحقق :

أ = 1 ، د = 6 ، ن = 10

ج = (ن/2)*[2 أ + (ن - 1)*د] = (10/2)*[2 + (10 - 1)*6] = 5*56 = 280

متتابعة حسابية حدها الثالث يزيد عن ضعف حدها السادس بمقدار 1
ومربع حدها الثامن يزيد عن حدها الرابع بمقدار 2
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد عدد الحدود الذى يعطى أكبر مجموع للمتتابعة
وأوجد هذا المجموع
نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = د
أ + 2 د = 2 ( أ + 5 د ) + 1
ومنها : أ = - ( 1 + 8 د )

( أ + 7 د )^2 = ( أ + 3 د ) + 2
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة د
د ( 7 + د ) = 0 ـــــــــــ> د = - 7 ، ومنها : أ = 55

المتتابعة الحسابية :
55 ، 48 ، 41 ، 34 ، 27 ، 20 ، 13 ، 6 ، - 1 ، ...

أكبر مجموع للمتتابعة هو مجموع الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول
نفرض أن ح(ن) = 0
أ + (ن - 1) × د = 55 + (ن - 1) × - 7 ــــ> ن = 8 + 6 /8
إذن :
ح(9) = أ + 8 د = 55 - 8 × 7 = - 1
ح( = أ + 7 د = 55 - 7 × 7 = 6
ويكون : عدد الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول = 8
ج( = 8 /2 [ 2 أ + 7 د ] = 4 [ 2 × 55 - 7 × 7 ] = 244

ح(ن) متتابعة هندسية حدودها موجبة
ح2 + ح3 = 72 ، ح2 × ح4 = 324
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع حدودها الى مالانهاية

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الهندسية = أ ، الأساس = ر
أ ر + أ ر^2 = 72 ــــ> أ = 72 / (ر + ر^2)
أ ر × أ ر^3 = أ^2 ر^4 = 324
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة ر
[ 72 / (ر + ر^2) ]^2 × ر^4 = 324
15 ر^4 - 2 ر^3 - ر^2 = 0
ر^2 ( 15 ر^2 - 2 ر - 1 ) = 0
ومنها : ر = 1 /3 ــــ> أ = 162
وتكون المتتابعة : 162 ، 54 ، 18 ، 6 ، 2 ، ...

مجموع الحدود الغير منتهية = أ / (1 - ر) = 162 × 3 /2 = 243

إذا أُدخِلت عدة أوساط حسابية بين عددين : 50 ، - 20
وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأوليين الى مجموع الوسطين الأخيرين = - 17 : 5
أوجد عدد الأوساط
ثم أوجد ح8
نفرض أن :
الحد الأول = أ ، الأساس = د
عدد الأوساط الحسابية = ن
فيكون عدد حدود المتتابعة الحسابية = ن + 2
الحد الأول = أ = 50
الحد الأخير = ح(ن + 2) = 50 + (ن + 1) د = - 20 ........ (1)
الوسطين الأوليين هما :
ح2 = 50 + د ، ح3 = 50 + 2 د
الوسطين الأخيرين هما :
ح(ن) = 50 + (ن - 1) د ، ح(ن + 1) = 50 + ن د

[ 50 + د + 50 + 2 د ] / [ 50 + (ن - 1) د + 50 + ن د ] = - 17 /5
[ 100 + 3 د ] / [ 100 + (2 ن - 1) د ] = - 17 /5 ...... (2)
بحل المعادلتين (1) ، (2) جبريا ، ينتج أن :
ن = عدد الأوساط الحسابية = 13
د = - 5

وتكون الأوساط : 45 ، 40 ، ...... ، - 10 ، - 15

والمتتابعة هى :
50 ، 45 ، 40 ، 35 ، 30 ، 25 ، 20 ، 15 ، 10 ، 5 ، 0 ، - 5 ، - 10 ، - 15 ، - 20

الحد الثامن فى المتتابعة = أ + 7 د = 50 + 7 × - 5 = 50 - 35 = 15

إذا كان مجموع السبعة عشر حدا الأولي من متتابعة حسابية =289
أوجد قيمة ح1 + ح8 + ح 18 نفرض أن :

الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ
الأساس = د
مجموع الحدود = ج

ج = (ن/2)*[2 أ + (ن - 1)*د)]

289 = (17/2)*[2*أ + 16*د] = 17*أ + 17×16*د

17 = أ + 8*د ................................................ (1)

ح1 + ح8 + ح18 = أ + (أ + 7*د) + (أ + 17*د) = 3*أ + 24*د = 3*(أ + 8*د)

بالتعويض من المعادلة (1)

ح1 + ح8 + ح18 = 3 × 17 = 51

كم حدا يلزم أخذها من المتتابعة الهندسية : 1 ، 2 ، 4 ، ....
ابتداء من الحد الأول حتى يكون مجموع هذه الحدود = 1023ج ن = أ [ ر^ن - 1 ]/[ ر - 1 ] = [ 2^ن - 1 ] = 1023
2^ن = 1024 = 2^10
ن = 10

متتابعة هندسية عدد حدودها ( ن ) حداً حيث ن عدد فردى . أثبت أن حاصل ضرب حدود هذه المتتابعة يساوى ( الحد الأوسط )^ن
عدد الحدود فردي

ترتيب الحد الأوسط = ( ن + 1) /2

الحد الاوسط = أ × ر^ (ن - 1 )/2

حاصل ضرب الحدود

= أ × أ ر × أر^2 × 00000000000000000 × أ ر^ن-1

= أ^ن × ر^ ( 1 + 2 + 3 + 00000000000000 + ن - 1 )

الأس يمثل متتابعة حسابية عدد حدودها ( ن - 1 )

ومجموعها = ن ( ن - 1 ) /2

إذن حاصل الضرب = أ^ن × ر ^ ن ( ن - 1 )/2 =============> ( 1 )

الحد الأوسط = أ ر^ ( ن - 1 ) / 2

( الحد الأوسط )^ن = أ^ن × ر ^ ن ( ن - 1 )/2 ==============> ( 2 )

من ( 1 ) ، ( 2 ) يتحقق المطلوب

إذا كان حـ ن هو مجموع ن حدا الأولى من متتابعة حسابية (ح ن) وكان جـ 9 - جـ 6 =69
فأوجد ح 8 , جـ 15

متتابعة حسابية
مجموع ح1 + ح5 = 2
مجموع ح3 + ح4 = 5/4
أوجد مجموع الأربعين حدا الأولى منها ؟
نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
أ + أ + 4 د = 2 ـــــ> أ = 1 - 2 د ................... (1)
أ + 2 د + أ + 3 د = 5/4 ــــ> أ = (5 - 20 د) /8 ........ (2)
من (1) ، (2)
أ = 5/2 ، د = - 3/4

المتتابعة : 5/2 ، 7/4 ، 1 ، 1/4 ، - 1/2 ، ...

مجموع 40 حدا الأولى = 40/2 × [ 2 × 5/2 + 39 × - 3/4 ] = - 485

متتابعة هندسية غير متناهية
ح4 = 4
الوسط الحسابى بين حديها ح3 ، ح5 = 5
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموعها الى مالانهاية
أ ر^3 = 4 ـــــــــــــــــ> أ ر^2 = 4/ر
أ ر^2 + أ ر^4 = 2 × 5 ـــــ> أ ر^2 ( 1 + ر^2 ) = 10
إذن :
4/ر × ( 1 + ر^2 ) = 10
2 ر^2 - 5 ر + 2 = 0
( 2 ر - 1 )( ر - 2 ) = 0
ر = 2 ........ مرفوض حيث المتتابعة غير منتهية ، فبلزم ا ر ا < 1
ر = 1/2 ـــــ> أ = 32

مجموع عدد لانهائى من حدودها = 32 /(1 - 1/2) = 64

ثلاثة أعداد تكون متتابعة هندسية مجموعها = 21
وكانت : 4 ح1 ، 3 ح2 ، 2 ح3 تكون متتابعة حسابية
أوجد الأعداد الثلاثة ؟
ح1 + ح2 + ح3 = 21 ................................... .. (1)
(ح2)^2 = ح1 × ح3 ................................... ... (2)
6 ح2 = 4 ح1 + 2 ح3 ــــ> 3 ح2 = 2 ح1 + ح3 ........... (3)
بحل المعادلات الثلاثة جبريا :
ح1 = 3
ح2 = 6
ح3 = 12

للتحقق :
ح1 + ح2 + ح3 = 3 + 6 + 12 = 21
(ح2)^2 = (6)^2 = 36 ، ح1 × ح3 = 3 × 12 = 36
6 ح2 = 6 × 6 = 36 ، 4 ح1 + 2 ح3 = 12 + 24 = 36

اذا كان أ , 2ب , 3حـ , 4ء كميات موجبة فى تتابع هندسى
فأثبت أن ( أ + 3حـ ) ( ب + 2ء) > 12 ب حـ
نعلم ان الوسط الحسابى لعددين موجبين اكبر من الوسط الهندسى لهما
وحيث ان الكميات موجبه
وعلى ذلك
( أ ، 2 ب ، 3 ج ، 4 ء) ف تتابع هندسى
الوسط الحسابى لى أ ، 3 ج اكبر من الهندسى
(أ+ 3 ج) / 2 > 2 ب
اذن
أ + 3 ج > 4 ب رقم 1
وايضا
(2ب + 4 ء)/ 2 > 3 ج
اذن
ب + 2ء > 3 ج رقم 2
وبضرب 1 , 2
(أ+ 3 ج ) ( ب + 2 ء) > 12 ب ج
وهو المطلوب

متتابعة حسابية الحد السابع فيها يساوى 13 م والحد التاسع فيها يساوى 17 م .
أوجد المتتابعة.ثم إثبت أن النسبة بين مجموع ن من الحدود إلى مجموع ل من الحدود ابتداء من الحد الأول
فى هذه المتتابعة هى ن2 : ل2
أ + 6 ء = 13م
أ + 8 ء = 17م
2 ء = 4 م
ء = 2 م
أ = م

المتتابعة هي ( م ، 3 م ، 5 م ، ................)

جـ ن = ن [ 2أ + ( ن-1) ء]/2
= ن [ 2م + ( ن-1) 2م]/2
= ن[ 2م + 2م ن – 2م ]/2
= ن 2

جـ ل = ل [ 2أ + (ل -1) ء]/2
= ل [ 2م + (ل -1) 2م]/2
= ل [ 2م + 2م ل – 2م ]/2
= ل 2

جـ ن : جـ ل = ن2 : ل2

متتابعتان هندسيتان الحد الأول للأولى ضعف الحد الأول للثانية ، أساس الثانية يزيد عن أساس الأولى بمقدار الواحد الصحيح ، إذا كان الحد الثالث من المتتابعة الثانية ثمانية أمثال الحد الثالث من المتتابعة الأولى ، كان مجموع حدود المتتابعة الثانية إلى مالانهاية يساوى 10 فاوجد كلاً من المتتابعتان ؟
الأولي ( 2أ ، 2أر ، 2أ ر2 ، ......................)
الثانية ( أ ، أ ( ر+ 1) ، أ ( ر+ 1)2 ،...............)

أ ( ر+ 1)2 = 8 * 2أ ر2

( ر+ 1)2 = 16 ر2

( ر+ 1)= 4ر أ، ( ر+ 1)= -4ر

ر= 1/3 (يرفض) أ، ر= -1/5

أ / (1 – ر- 1 ) =10

أ = - 10 ر

أ = 2

الأولي ( 4 ، -4/5 ، 4/25 ،...............)
الثانية ( 2 ، 8/5 ، 32/25 ،...........)

ثلاثة أعداد موجبة تكون متتابعة هندسية حاصل ضربها 64، مجموع مربعاتها 84 . فما هى ؟
أ * أ ر *أ ر2 = 64

أ3 ر 3 = 64

أ ر = 4 .................(1)

أ2 + أ2 ر2 +أ2 ر4 =84
16/ ر2+ 16+ 16 ر2 =84

4 ر4+ 4 ر2 + 4 = 21 ر2

4 ر4- 17 ر2 + 4 = 0

(4 ر2 -1)( ر2 - 4 ) = 0

ر = 1/2 أ، ر = - 1/ 2 (ترفض) أ، ر = 2 أ، ر=-2(ترفض)

أ = 8 أ، أ = 2
الاعداد هي 8 ، 4 ، 2

مجموع ثلاثة أعداد متتالية من متتابعة هندسية يساوى 14 و حاصل ضرب مربعات هذه الأعداد يساوى 4096 . فما هى هذه الأعداد ؟


أ + أ ر +أ ر2 = 14
أ ( 1+ ر + ر 2) = 14 .................... (1)
(أ * أ ر *أ ر2 )2= 4096
أ6 ر 6 = 4096
أر = 4 .................... (2)
بقسمة 1 علي 2
4 ( 1+ ر + ر 2) = 14ر
7ر + 2ر + 2ر 2 = 7ر

2ر 2- 5 ر+ 2 = 0

(2ر - 1 ) (ر – 2) = 0

ر = 0.5 ا، ر= 2
أ = 8 أ، أ= 2

الاعداد هي 8 ، 4 ، 2

إذا كان نسبة مجموع الحدود الأول و الثانى و الثالث من متتابعة هندسية إلى مجموع الحدود الرابع و الخامس و السادس كنسبة 1 : 8 وكان مجموع حديها الأول والسادس يساوى 198 أوجد المتتابعة ثم أوجد مجموع الحدود العشرة الأولى منها .

(أ+أر+أر2) / (أر3+ أر4+ أر5) =1/8
أ (1+ر+ر2) / أ ر3 (1+ر+ر2)=1/8
ر3=8 ،ر=2
أ + أر5 = 198
أ+32أ= 198
33أ=198
أ=6
المتتابعة هي (6 ،12 ،24،......)
جـ10 = 6 ( 2 10 – 1)/(2-1) =6138

إذا كان حـ ن هو مجموع ن حدا الأولى من متتابعة حسابية (ح ن) وكان جـ 9 - جـ 6 =69
فأوجد ح 8 , جـ 15

جـ 9 - جـ 6 =69
ح 9 + ح 8 + ح 7 =69

(ح 8+ ء) + ح 8 + (ح8 – ء)=69
3 ح 8 =69
ح 8 =23
جـ 15 = 15[ 2أ + 14 ء ]/2
= 15 [ أ + 7 ء ]
= 15 * 23
= 345