سلسلة متتابعات حسابية

كم وسطا حسابيا يمكن إدخالها بين 20 ,170 إذا كان مجموع الوسطين
الخامس عشر والعشرين خمسة أمثال الوسط الخامس
الحل
نفرض عدد الأوساط = ن
عدد الحدود = ن+2
أ=20 ، ح (ن+2)= 170
ح (ن+2)= أ + (ن+1)ء
170 =20+ (ن+1)ء
150 = ن ء +ء (1)
ولكن مجموع الوسطين الخامس عشر والعشرين خمسة أمثال الوسط الخامس
ح16 +ح21 = 5ح6
أ+15 ء +أ+20 ء = 5أ + 25 ء
10ء = 3أ
10ء= 60 ومنها ء =6 (2)
بالتعويض بـ 2 فى 1ينتج أن
150= 6ن +6
144 =6ن ومنها ن = 24

ح(ن) متتابعة حسابية
مجموع 7 حدود الأولى = 70
مجموع الحدين والثانى والرابع = المحايد الجمعى
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد عدد الحدود ليكن المجموع أقل مايمكن

الحل
حـ ن= (ن/2)[2 أ+(ن - 1)ء]
70 =( 7/2)[2 أ+6ء ]
70= 7أ+ 21ء
10= أ + 3ء (1)
ولكن ح2 +ح4=صفر
أ +ء +أ +3ء =صفر
2أ +4ء = صفر
أ = -2ء (2)
بالتعويض بـ2 فى 1 ينتج أن
10= -2ء +3ء =ء
أ = -20
المتتابعة (-20,-10, صفر , ...................)
عدد الحدود ليكن المجموع أقل مايمكن

ح ن < صفر
أ +(ن - 1)ء<صفر
-20 +10ن -10<صفر
10ن <30 ومنها ن< 3
ن=2

ح(ن) متتابعة حسابية
ح3 = 6
والفرق بين حديها السابع والرابع =6
أوجد المتتابعة ؟
الحل

أ + 2د = 6 [1]
أ + 6 د - أ - 3د = 3د = 6
3د = 6 ومنها ء = 2
أ = 6 -4 =2
المتتابعة : 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، ..هى (2 , 4 , 6 , ....................).

متتابعة حسابية
ح6 = 11
مجموع العشرة حدود الأولى = 100
أوجد المتتابعة ؟
الحل
أ +5 د = 11 [1]


100= 10/2 × [ 2 أ + 9 د ]
ومنها :20 = 2أ + 9ء [2]
بحل المعادلتين 1 ,2
ينتج ان

د =2 ، أ = 1
المتتابعة(1. 3, 5 , ..................)
المتتابعة : 10 ، 13 ، 16 ، 19 ، ...
__________________

إذا أدخادلناعدة أوساط حسابية بين 3, 54 وكانت النسبة بين بين الوسط الرابع من البداية الى الوسط الثالث من النهاية تساوى 1 : 3 فما هو عدد الوساط
الحل
نفرض عدد الأوساط = ن
عدد الحدود = ن+2
أ=3، ح (ن+2)= 54
ح (ن+2)= أ + (ن+1)ء
54 =3+ (ن+1)ء
51= ن ء +ء
ن ء = 51 - ء (1)
النسبة بين بين الوسط الرابع من البداية الى الوسط الثالث من النهاية تساوى 1 : 3

ح5 : ح (ن -1 )= 1 : 3
أ +4ء : أ +(ن -2 )ء = 1 : 3
(3 +4ء )/ (3 +ن ء -2ء ) = 1 : 3
ومنها ن ء = 6 + 14 ء (2)

بمساواة 1 , 2 ينتج أن ء= 3
3ن = 51 - 3 = 48
ن=16

إذا ادخلنا عدة أوساط حسابية بين 8 , 40 وكان حاصل ضرب الوسط الأول والوسط الخير = 380 أوجد عدد هذه الأوساط وقيمة الوسط التاسع
الحل
نفرض عدد الأوساط = ن
عدد الحدود = ن+2
أ=8 , ح (ن+2)= 40
ح (ن+2)= أ + (ن+1)ء
40 =8+ (ن+1)ء
32= ن ء +ء
ن ء = 32 - ء (1)
حاصل ضرب الوسط الأول والوسط الخير = 380
ح2 × ح(ن+1) = 380
(8 + ء) ( 8 + نء ) = 380 (2)
بالتعويض بـ 1 فى 2 ينتج أن
(8 + ء) ( 40- ء) = 380
ء^2 - 32 ء + 60 = صفر
(ء - 30 )(ء - 2)= صفر
ء= 2 لماذا لم تأخذ ء= 30 ؟
بالتعويض فى 1
2ن = 30 ومنها ن= 15

متتابعة حسابية
مجموع ح1 + ح3 = 4/3
مجموع ح2 + ح5= 7/3
أوجد مجموع العشرين حدا الأولى منها ؟
الحل
نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
أ + أ + 2د = 4/3
3أ +3ء = 2 (1)
أ + د + أ + 4 د = 7/3
6أ +15ء = 7 (2)
بحل المعادلتين (1) ، (2)
أ = 1/3، د = 1/3

المتتابعة : (1/3 , 2/3 , 1 , ...................)
حـ 20 حدا الأولى =( 20/2 )× [ 2 × 1/3 + 19× 1/3 ]= 70

إذا كان الحدان الأول والثالث من متتابعة حسابية يساويان على الترتيب الحدين الثانى والخامس من متتابعة أخرى
فأثبت أن الحد الخامس من المتتابعة الأولى يساوى الحد الثامن من المتتابعة الثانية
الحل
المتتابعة الاولى (أ , أ +ء , أ + 2ء , .................)
المتتابعة الثانية ( أ َ , أ َ + ءَ , أ َ +2ءَ , ..............)
من المعطيات
ح1 = حَ2 ومنها أ = أ َ + ءَ (1)
ح3 = حَ5 ومنها أ +2ء = أ َ + 4 ءَ (2)
بطرح المعادلتين ينتج ان
2ء = 3 ءَ ومنها ء = 3ءَ /2 (3)
ح5 = أ +4ء = أ َ + ءَ + 6ءَ = أ +7ءَ= حَ8

متتابعة حسابية حدها الثامن = 5 امثال حدها الثالث ومجموع العشرة حدود الاولى = 150 اوجد المتتابعة
الحل
ح8 = 5ح3
أ + 7ء = 5أ +10ء
4أ + 3ء = صفر (1)
حـ10 = 5 ( 2أ + 9ء )
5( 2أ + 9ء )=150
2أ + 9ء =30 (2)
بحل المعادلتين 1 ,2
أ = -3 , ء= 4
المتتابعة ( -3 , 1 , 5 , ...............)

أربعة أعداد موجبة تكون متتابعة حسابية وكان حاصل ضرب حدها الاول فى الرابع =36
وخارج قسمة الثالث على الثانى =3/2 لأوجد هذةه الأعداد
الحل
نفرض الأعداد
أ , أ +ء , أ + 2ء , أ + 3ء
ح1 ×ح4 = 36
أ ( أ + 3ء ) = 36 (1)
ح3 / ح2 =3/2
( أ +2ء )/(أ +ء ) =3/2 ومنها
أ= ء (2) بالتعويض بـ 2 فى 1
(ء )( ء+3 ء) = 36
4 ء^2= 36 ومنها ء^2= 9 , ء =3
أ= 3
(3, 6, 9 , 12 )

متتابعة حسابية حدها الثالث ضعف حدها الرابع ، ومجموع ن حداً معطى بالعلاقة حـ ن= ن^2 - ك ن
حيث ك ثابت
فأوجد .. :
(1) قيمة ك
(2) الحد العام ح ن الحد العام
الحل
ح3 = 2ح4
أ + 2ء = 2أ+ 6 ء
أ = -4 ء
حـ ن = (ن/2) ( 2أ + (ن – 1 )ء )
حـ ن = (ن/2) (- 8ء + ن ء – ء )
حـ ن = (ن/2) (- 9ء + ن ء )
حـ ن = ن^2 ( ء/2 ) + (-9ء/2) ن (1)
حـ ن= ن^2 - ك ن (2)
بمساواة 1,2
ن^2 - ك ن = ن^2 ( ء/2 ) + (-9ء/2) ن
ء/2= 1 , -9ء /2 =- ك
ء= 2 .ك=9
جـ1 = 1 - 9 =- 8
أ= - 8
ح ن= -8 +(ن -1)×2
ح ن= -8 +(ن -1)×2
ح ن = 2ن -10

متتابعة حسابية فيها ح1= 11 , ح ن= 47 , ح 2ن = 87 أوجد المتتابعة وأوجد المتتابعة وأوجد قيمة ن
الحل
أ= 11 ، أ + (ن - 1) ء = 47
اذا ن ء - ء = 36 بالضرب ×2
2نء - 2ء=72 (1)
ولكن أ + (2 ن -1) ء = 87
2نء - ء = 76 (2)
بطرح المعادلتين
ء= 4
المتتابعة ( 11 , 15 , 19 ,.......................)
4ن -4 = 36
4ن= 40
ن=10

سوف نقوم بحل هذه المسائل تباعا إ ن شاء الله

حل رقم 1
نفرض العددان س , ص
س - ص = 18 , س ص - 3( س +ص) /2 = 7 بفك الاقواس
س - ص = 18 (1) , 2س ص -3س -3 ص = 7(2)
من المعادلة 1 نجد أن س= 18 +ص بالتعويض بها فى الثانية
36ص+2ص^2 -54 -3ص -3 ص - 14= صفر
2ص^2 +30ص-68 = صفر
ص^2 +15ص - 34 = صفر

(ص- 2)(ص+17)= صفر
ص=2 , ص=-14 مرفوض لان العددان موجبان
س= 18+2 =20
العددان هما 20 , 2

حل رقم 2
نفرض العددان س , ص
س= 4ص (1), (س+ص)/2 -جذر (س ص) = 3 (2)
بالتعويض من 1 فى 2
5ص/2 - 2ص = 3 بالضرب فى 2
5ص -4ص = 6
ص= 6
س= 4×6= 24
العددان هما 24 , 6

حل 3
27 , س, 3 تشكل متتابعة هندسية فما أساسها
س^2 = 3×27= 81
س= -9, س= 9
المتتابعة
27 , -9 , 3 واساسها ر= -1/3
27 , 9 , 3 واساسها ر= 1/3

إثبت أن مجموع ن حداً الأولى من المتتابعة ( 3 ، 7 ، 11 ، ............ ) هو
ن ( 2 ن + 1 ) و إذا كان مجموع النصف الأول من حدودها ينقص بمقدار 400
عن مجموع النصف الآخر من حدودها فما قيمة ن
الحل
جـ ن = ن[ 2أ + ( ن-1 ) ء ]/2
= ن [ 6+ (ن-1) *4 ]/2
= ن [3+2ن- 2]
= ن ( 2 ن + 1 )

جـ النصف الأول = جـ النصف الآخر -400
جـ النصف الأول+ جـ النصف الأول = جـ النصف الآخر+ جـ النصف الأول -400
2جـ النصف الأول = جـ -400
2(ن/2 )( ن + 1 ) = ن ( 2 ن + 1 ) -400
ن2 + ن = 2 ن2 + ن -400
ن2 =400
ن= 20

إذا كان أحد حدود المتتابعة ( 1 ، 3 ، 5 ، .................. ) وسطاً متناسباً
بين الحدين الثالث و العشرين والثالث و الستين فيها فأوجد رتبة هذا الحد .
ثم أوجد عدد الحدود ابتداء من الحد الأول التى يكون مجموعها مساوياً 1/4مجموع العشرين
حداً الأولى من هذه المتتابعة .
الحل

اذا كان أحد حدود المتتابعه الحسابيه(1 ,3, 5, ..... ) وسطا متناسبا
بين ح 32 , ح 36 فأوجد رتبة هذا الحد ثم اوجد عدد الحدود التى يجب اخذها
ابتداء من الحد الاول التى يكون مجموعها =1؛4 مجموع العشرين حدا الاولى من هذه المتتابعه.
الحل
ح 32 ÷ ح س= ح س ÷ ح 36 ( الوسط المتناسب هو مقام النسبه الاولى وبسط الثانيه)
إ ح *سس = (أ+22ء)(أ+62ء)
=(1+44)(1+124) =45×125
إ حسس = 75 = 1+(ن-1)×2 اى ن=38
بفرض عدد الحدود م حدا
يكون 4 حـ م = حـ 20
اى 4× (م/2) [ 2 +(م -1)×2] = ( 20 / 2)[ 2 +19×2]
ويكون م =10

إذا كان حـ ن هو مجموع ن حدا الأولى من متتابعة حسابية (ح ن) وكان جـ 9 - جـ 6 =69
فأوجد ح 8 , جـ 15
الحل

إذا كان حـ ن هو مجموع ن حدا الأولى من متتابعة حسابية (ح ن)
وكان جـ 9 - جـ 6 =69
فأوجد ح 8 , جـ15
الحـــــــــــــــــل
جـ 9 - جـ 6 =69
ح 9 + ح 8 + ح 7 =69

(ح 8+ ء) + ح 8 + (ح8 – ء)=69
3 ح 8 =69
ح 8 =23
جـ 15 = 15[ 2أ + 14 ء ]/2
= 15 [ أ + 7 ء ]
= 15 * 23
= 345