متتابعة حسابية

س3 ) متتابعة حسابية اساسها = 3 وحدودها الثاني والرابع والثامن تكون متتابعة هندسية جد المتتابعة الهندسية
الحل

أوجد رتبة أول حد أكبر من 100 من
المتتابعة ( 1 ، 7 ، 13 ، ............)
الحل
أ = 1 ء = 6
ح ن > 100
أ + ( ن – 1 ) ء > 0
1+ ( ن – 1 ) × 6 > 0
1+ 6 ن – 6 > 100
6 ن – 5 > 100
6ن > 100 + 5
6ن > 105
ن > 17.3
ن = 18
ح18 هو أول حد أكبر من 100

أوجد عدد الحدود الموجبة فى
المتتابعة (68، 65، 62، .......) وكذلك قيمة أول حد سالب فيها


الحل
أ = 68 ء = - 3
لمعرفة عدد الحدود الموجبة نوجد أول حد سالب ح ن < 0
أ+ ( ن – 1 ) ء < 0
68+ ( ن – 1 ) × -3 < 0
68– 3 ن +3 < 0
-3ن +71< 0
-3 ن < - 71 بالقسمة على -3 (لاحظ القسمة على العدد السالب تغير اتجاه المتباينة)
ن > 23.66
ن = 24
ح24 أول حد سالب
عدد الحدود الموجبة = 23 حدا
ح24 = أ +23 ء= 68 + 23×-3 = 68- 96 =-1

اذا كانت( س,ص,ع ) اعداد موجبة فى تتابع حسابى وكانت (أ) وسط هندسى بين (س,ص) و (ب) وسط هندسى بين (ص,ع)
اثبت ان ص اس 2 >اب

متتابعة حسابية حدها الاول 29 وحدها الثانى يساوى خمسة أمثال حدها السابع أوجد المتتابعة ثم أوجد عدد الحدود التى يجب أخذها بدءا من حدها الاول حتى يكون المجموع أكبر ما يمكن وأوجد هذا المجموع ؟

ح1 = 29 ح2 = 5 ح7
أ = 29 (1) ، أ + ء = 5 أ + 30 ء ) 2)
بالتعيض بـ 1 فى 2
29 + ء = 145 + 30 ء
- 29 ء = 116
ء= - 4
المتتابعة = ( 29 , 25 , 21 , .....................)
ليكن الجموع أكبر مايمكن ح ن > صفر
(أ + (ن - 1)ء ) > صفر
( 29 – 4ن + 4 ) > صفر
33 – 4ن > صفر
-4ن > -33 بالقسمة على – 4
ن < 8.25
ن = 8 حدا
حـ 8 = (8/2 ) ( 58 – 4 × 7 )
حـ 15 = (4) ( 30 ) = 120

2_ مجموع العشرين حدا الاولى من متتابعة حسابية يساوى 860 ومجموع حديها الثالث والرابع يزيد عن حدها السادس بمقدار 5 أوجد المتتابعة ؟
حـ 20 = 10 ( 2أ + 19ء )
860 = 10 ( 2أ + 19ء )
منها 2أ + 19ء = 86 (1)
ح3 + ح4 – ح6 = 5
أ + 2ء + أ + 3ء – أ – 5ء = 5
أ = 5 (2)
بحل 1 , 2 معا نستنتج أن
10 + 19ء = 86
19 ء = 76
ء= 4
المتتابعة الحسابية = ( 5 , 9 , 13 , ....................)

متتابعة حسابية حدها العشرون = 41 ، يزيد مجموع حديها الثالث والسادس عن حدها التاسع بمقدار الوحدة أوجد المتتابعة وعدد الحدود اللازم أخذها منها ابتداء من حدها الاول ليكون المجموع 440 ؟
ح 20 = 41
أ + 19 ء = 41 (1)
ح3+ ح6 – ح9 = 1
أ + 2ء + أ + 5ء – أ – 8ء = 1
أ – ء = 1 (2)
بحل المعادلتين 1 2 جبريا
نستنتج أن
ء = 2
أ = 3
المتتابعة ( 3 5 , 7 , ....................)
حـ ن = 440
(ن/2) ( 2أ + (ن – 1)ء)= 440
(ن/2)( 6+ 2ن – 2 ) =440
(ن/2)( 4+ 2ن) =440
ن2 + 2ن -440= 0
(ن+ 22 )(ن - 20)= 0
ن= -22 مرفوض
ن= 20

_ متتابعة حسابية عدد حدودها فردى وحدها الاوسط هو ح13 ويساوى 38 ومجموع الثلاثة حدود الاخيرة منها 213 أوجد المتتابعة ومجموع حدودها ؟
اذا كان عدد حدد المتتابعة الحسابية فردى وحدها الأوسط ح13
رتبة الحد الأوسط = (ن+1)/ 2
حيث ن عدد حدود المتتابعة الحسابية
13 = ( ن+1)/2
ن=25
ح13 = 38
أ+ 12ء =38 (1)
ح25 + ح24 + ح23 =213
أ+ 24ء + أ + 23 ء + أ + 22ء = 213
3 أ+ 69ء = 213 بالقسمة على 3
أ + 23ء = 71 (2)
بحل المعادلتن 1 , 2
نستنتج أن
ء= 3
أ= 2
المتتابعة = (2 . 5 , 8 , ...................)
أوجد مجموع 25 حدا

أوجد مجموع الخمسة والثلاثون حدا الاولى من المتتابعة الحسابية التى حدها الثامن عشر =15 ؟

حـ 35 = (35/2) ( 2أ + 34 ء )
حـ35 = 35 ( أ + 17ء ) (1)
ولكن ح18 = أ + 17 ء= 15 (2)
بالتعويض بـ1 فى 2
حـ35 = 35 × 15 = 525

متتابعة حسابية تتكون من 21 حدا ، مجموع السبعة حدود الاخيرة منها =385 ومجموع الخمسة حدود الوسطى منها =170 أوجد المتتابعة ومجموع الخمسة عشر حدا الاولى منها ؟

حـ7( الأخيرة ) = مجموع الحدود من ح15 الى ح21
(7/2) ( أ + 14ء + أ + 20ء) = 385
7( أ + 17 ء) = 385
أ + 17ء = 5 5 (1)
رتبة الحد الأوسط = ( 21+1)/2=11
ح11 هوالحد الأوسط
للحصول على الخمس حدود الوسطى ح11 يسبقة حدين هما ح9، ح10 ويلية حدين ح12 , ح13
حـ5 = (5/2)( أ + 8ء + أ + 12ء)
(5/2)(2أ + 20ء)= 170
5أ + 50ء= 170
أ + 10ء = 34 (2)
بحل المعادلتين 1 , 2
نستنتج أن أ =4 , ء= 3
المتتابعة ( 4 , 7 , 10 , ......................)
حـ15 = (15/2)( 2أ + 14ء )
حـ15 = 15 (أ + 7ء ) = 15( 4 + 21 )= 15× 25 = 375
7_ اذا كان مجموع ن حدا من متتابعة يعطى بالعلاقة ج ن = 3(ن) تربيع أثبت أن المتتابعة حسابية وأوجدها ثم أوجد حدها التاسع ومجموع الخمسة عشر حدا الاولى منها ؟

حـ ن = 3ن2 بالتعويض عن ن= 1 . 2 . 3 . 4 . ........
حـ 1 = 3 ×1= 3
جـ 2 = 3 × 4 = 12
حـ3 = 3 × 9= 27
ولكن ح1= حـ1 = 3
ح2= حـ2- حـ1 = 12 -3 = 9
ح3 = حـ3 – حـ2 = 27 -12= 15
حيث ح1 ، ح2 ، ح3 فى تتابع حسابى اذا
المتتابعة ( 3 , 9 , 15 , ........................)
ح9= أ + 8ء
ح9 = 3+ 8×6 = 3 + 48= 51
حـ 15 = 675

متتابعة حسابية نسبة الحد الحادى عشر الى الحد السادس فيها كنسبة 3 : 1 فاذا كان مجموع الستة عشر حدا الأولى فيها = 160 فأوجد المتتابعة وكم حدا يمكن أخذه ابتداء من حدها الأول ليكون مجموعها 40 ؟
ح11 : ح6 = 3 : 1
(أ +10 ء ): ( أ +5ء) = 3 : 1 منها
2أ + 5ء= صفر (1)
بأستخدان قانون المجموع
حـ ن= (ن/2) ( 2أ + (ن – 1)ء)
160 = 8( 2أ + 15ء )
2أ + 15ء = 20 (2)
بحل المعادلتين 1 , 2 نستنتج أن
ء= 2 , أ = -5
المتتابعة ( -5 ، -3, -1 , 1 , 3 , ....................)
اذاكان حـ ن= (ن/2) ( 2أ + (ن – 1)ء)
اذا 40 = (ن/2) ( -10 + (ن – 1)× 2 ) بالفك والإختصار
ن2 -6 ن - 40 =0
(ن -10 )(ن+ 4 )=0
ن=10 . ن= -6 مرفوض

_ متتابعة حسابية عدد حدودها 15 حدا وحدها الاوسط يساوى 23 ومجموع الاربعة حدود الاولى منها يساوى 26 أوجد المتتابعة ومجموع حدودها وأوجد قيمة حدها الاخير ؟
رتبة الحد الأوسط 16÷2= 8
ح8 = 23
أ+ 7ء = 23 (1)
ح1 +ح2 +ح3 +ح4= 26
4أ + 6ء= 26
2أ + 3ء = 13 (2)
بحل 1 , 2 نستنتج أن
ء= 3 , أ= 2
المتتابعة ( 2 , 5, 8 , .......................)
حـ15 = 345
ح15 = 44

متتابعة حسابية عدد حدودها زوجى فاذا كان أساسها يساوى حدها الأول ومجموع الحدود الفردية الرتبة فيها يساوى 200 ومجموع الحدود الزوجية الرتبة فيها يساوى 220 أوجد عدد الحدود ثم أوجد المتتابعة ؟
أساسها = ح1
اذا ان عدد حدود متتابعة زوجى فإن
عدد الحدود الفردية الرتبة = عدد الحدود الزوجية الرتبة = ن
ء= أ (1)
حـ ن( الزوجية الرتبة ) - حـ ن( الفردية الرتبة ) = 220 – 200
( ح2 –ح1) + (ح4 –ح3) + ( ح6- ح5) + .................ن حدا = 20
ء+ ء+ + ء+ ..........................+ ء ن حدا = 20
نء= 20 (2)
الحدود الفردية الرتبة ح1 , ح3 , ح5 ، ........... عدد حدودها ن

حـ ن( الفردية الرتبة ) = (ن/2) ( 2أ + (ن-1 ) 2ء )
200 = (ن/2) ( 2أ + (ن-1 ) 2ء ) (3)
بالفك والإختصار والتعويض بـ1 فى 3 نستنتج أن
200 = ن2ء
نء ×ن = 200 (4)
بالتعويض بـ 2 فى 4
اذا 20 ن= 200
ن= 10
ء× 10 = 20
ء =2
عدد حدود المتتابعة = 20حد ا
المتتابعة (2 , 4, 6 , ................................)

اذا كانت ب الوسط الحسابي بين أ , جـ فاثبت ان:
أ(2 ب + جـ - أ)= جـ ( أ +2 ب + جـ)
الحل
ب وسط جسابي بين أ ، جـ
فيكون 2 ب = أ + جـ ومنها
الطرف الاول
أ(2 ب + جـ - أ)= أ(أ + جـ + جـ - أ)= أ ( 2 جـ ) = 2 أ جـ
الطرف الثاتي
جـ ( أ + 2 ب + جـ)= جـ ( أ+ أ + جـ - جـ )= 2 أجـ
الطرفان متساويان

--------------------------------------------------------------------------------

متتابعة حسابية حدها السابع يزيد عن مجموع حديها الثالث والرابع بمقدار الوحدة ، حدها الثانى ينقص عن حدها الخامس بمقدار 12 أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح7 – ( ح3 + ح4 ) = 1
أ + 6 ء – ( أ + 2ء + أ + 3 ء ) = 1
أ + 6 ء – 2أ – 5 ء = 1
ء – أ = 1 (1)
ح5 – ح2 = 12
أ + 4 ء – ( أ + ء ) = 12
أ + 4 ء – أ – ء = 12
3 ء = 12 ( ÷ 3)
ء = 4
بالتعويض في (1) نجد أن
4 – أ = 1
أ = 3
المتتابعة هى ( 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، 0000 )

أوجد متتابعة حسابية مكونة من 21 حدا ً ، مجموع الأحد عشر حدا ًالأولى منها 91 ، مجموع الأحد عشر حدا ً الأخيرة = 385
• أوجد المتتابعة
• أوجد مجموع الثلاثة حدود الوسطى منها ؟
الحل

الأحد عشر حدا ًالأولى :
ﺣ ن = ( ن / 2 )[ 2أ + ( ن – 1) ء ]
91=( 11 / 2 )[ 2 أ+ ( 11 – 1) ء ]
182 = 11[ 2أ +10 ء ]
91 = 11أ + 55 ء
11 أ + 55 ء = 91 (1)
الأحد عشر حدا ًالأخيرة :
ﺣ ن = ( ن / 2 ) [ 2أ + ( ن – 1) ء ]
385=( 11 / 2 ) [ 2 ح11 + ( 11 – 1) ء ]
385 = 11[ ( أ + 10 ء ) + 5 ء ]
35 = أ + 10 ء +5ء
35= أ + 15 ء (÷2)
أ + 15 ء = 35 (2)
11 أ + 55 ء = 91 (1)
14 ء = = 42 (÷ 14)
ء = 3
بالتعويض فى (1) نجد أن
أ + 3 × 3 = 13
أ + 9 = 13
أ = 4
المتتابعة هى ( 4 ، 7 ، 10 ، 00000 )

رتبة الحد الأوسط = ن + 1 / 2 = 21 + 1 / 2 = 22 / 2 = 11

الحدود الثلاث الوسطى هى ( ح 10 ، ح11 ، ح 12 )
ح 10 + ح11 + ح 12 = أ + 9 ء + أ + 10 ء + أ + 11 ء
= 3 أ + 30 ء
= 3 × 4 + 30 × 3 = 102

متتابعة حسابية تناقصية النسبة بين حديها الثالث والثامن هى 2 : 5 ، حدها الخامس يساوى مكعب حدها الأول أوجد المتتابعة ؟
الحل
ح3 : ح8 = 2 : 5
أ + 2ء : أ + 7 ء = 2 : 5
أ + 2 ء / أ + 7ء = 2/5

5 أ + 10 ء = 2أ + 14 ء
5 أ – 2أ = 14ء – 10 ء
3 أ = 4 ء (1)
ح5 = ح1 3
أ + 4 ء = أ3 (2)
بالتعويض من (1) فى (2) نجد أن :
أ + 3أ = أ3
أ3 – 4 أ = 0
أ ( أ2 – 4 ) = 0
أ ( أ – 2 ) ( أ +2) = 0
أ = 0 مرفوض أ = 2مرفوض أ = ــ 2
بالتعويض فى (1) نجد أن
3 × ــ 2 = 4 ء
ء = - 3 / 2
المتتابعة هى : ( ــ 2 ، - 7 / 2، ــ 5 ، 00000 )

إذا أدخلنا عدة أوساط حسابية بين 3 ، 53 وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأولين إلى مجموع الوسطين الأخيرين هى 3 : 13 فما عدد الأوساط ؟
الحل
نفرض أن المتابعة هى :
( 3 ، 3 + ء ، 3 + 2ء ، 00000 ، 53 – 2ء ، 53 – ء ، 53 )
الوسطين الأولين الوسطين الأخيرين

( 3 + ء + 3 + 2ء) / ( 53 – 2ء + 53- د ) = 3 / 13

( 6 + 3ء ) / ( 106 – 3ء ) = 3/013
39 ء + 78 = 318 – 9 ء
39 ء + 9 ء = 318 – 78
48 ء = 240 (÷ 48)
ء = 5
المتتابعة هى ( 3 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 53 )
ح ن = أ + ( ن – 1 ) × ء
53 = 3 + ( ن – 1 ) × 5
53 = 3 + 5 ن – 5
53 = 5 ن – 2
5ن = 53 + 2 = 55
5 ن = 55 (÷5)
ن = 11