معادلة المستقيم (منقول)

ميل الخط المستقيم الذى معادلته :
ص = أ س + ب هـــــــــــــــــــو معامل س = أ
مثال(1)
اوجد ميل الخط المستقيم : ص = 3 س + 7
الحل
الميل = معامل س = 3
مثال(2)
اوجد ميل الخط المستقيم : 2ص = 3 س – 6
الحل
2ص = 3 س – 8 (÷2)
ص = ـــــ س – 4
الميل = معامل س = ـــــ
مثال(3)
اوجد ميل الخط المستقيم : 3ص = 6 – س
الحل
3ص = – س + 6 (÷2)
ص = ـــــ س + 2
الميل = معامل س = ـــــ
ميل الخط المستقيم الذى معادلته :
أس+ ب ص = ك هـــــــــو ــــــــــــــــــــــــــ
مثال(4)
اوجد ميل المستقيم الذى معادلته :2س + 3ص = 5
الحل
الميل = ــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ
مثال (5)
اوجد ميل المستقيم الذى معادلته : 5س = 4ص + 7
الحل
5 س – 4 ص = 7
الميل = ــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = ـــــ

ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين (س1 ، ص1) & (س2 ، ص2) يساوى ـــــــــــــــــــــ
مثال (6)
اوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين (3، 4) & (2 ، 1)
الحل
الميل = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ـــــــــ = 3
مثال (7)
اوجد ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين (2، ــ 3) & (5 ، 4) ؟
الحل
الميل = ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ـــــــ

ملاحظات
ميل محور السينات أو المستقيم الأفقى أو الموازى له يساوى صفر
ميل محور الصادات أو المستقيم الرأسى أو الموازى له يساوى غير معرف


تذكر أن .
معادلة الخط المستقيم تكون على الصورة : ص = أس + ب
ب هو الجزء المقطوع من محور الصادات
أ هو ميل الخط المستقيم
موجب سالب
الدالة تزايدية الدالة تناقصية
ص = 2س + 1 ص = - 3س + 5
مثال (
اوجد معادلة الخط المستقيم الذى يقطع 3 وحدات من محور الصادات الموجب وميله = 2 ؟
الحل
ب = 3 ، أ = 2
معادلة الخط المستقيم تكون على الصورة ص=أس+ب
معادلة الخط المستقيم هى : ص = 2 س + 3
مثال (9)
اوجد معادلة الخط المستقيم الذى يقطع 4 وحدات من محور الصادات السالب وميله = ـــــ ؟
الحل
ب = - 4 ، أ = ـــ
معادلة الخط المستقيم تكون على الصورة :
ص = أس + ب
معادلة المستقيم هى : ص = ــــ س – 4 (×3 )
3ص = 2س – 12
إذا كانت النقطة (س1 ، ص1 ) تنتمى المستقيم فهى تحقق معادلته
مثال (10)
إذا كان المستقيم : 3س + 4ص = ك يمر بالنقطة
( 2 ، 1 ) فاوجد قيمة ك ؟
الحل
∵ المستقيم : 3س + 4ص = ك يمر بالنقطة (2 ، 1)
∴ فهى تحقق معادلته
∴ 3 × 2 + 4 × 1 = ك
∴ ك = 10
مثال (11)
إذا كان المستقيم : 3س + ك ص = 4 يمر بالنقطة
(ــ 2، 5 ) فاوجد قيمة ك ؟
الحل
∵ المستقيم : 3س+ ك ص = 4 يمر بالنقطة (ـ 2، 5)
∴ فهى تحقق معادلته
∴ 3 × (-2) + ك × 5 = 4
ــ 6 + 5ك = 4
5ك = 4 + 6 = 10
ك = 2
دعاء دخول المــقابر
قال بريدة رضي الله عنه: كان رسول الله صلى الله عليه و سلم يعلمهم إذا خرجوا إلى المقابر أن يقولوا : السلام عليكم أهل الديار من المؤمنين و المسلمين و إنا أن شاء الله بكم لاحقون نسأل الله لنا و لكم العافية". خرجه مسلم

مثال (12)
اوجد معادلة المستقيم الذى يمر بالنقطة (2 ،5 ) وميله يساوى 3 ؟
الحل
معادلة المستقيم هى : ص = أس + ب
معادلة المستقيم هى : ص = 3س + ب
∵ المستقيم : ص = 3س + ب يمر بالنقطة (2، 5 )
∴ فهى تحقق معادلته
∴ 5 = 3 × 2 + ب
∴ 5 = 6 + ب
∴ 5 – 6 = ب
∴ ب = ــ 1
الدعاء فى السفر :
عن عبد الله بن عمر رضي الله عنهما، أن النبي صلى الله عليه و سلم ، كان إذا استوى على بعيره خارجا إلى سفر كبر ثلاثا ثم قال: " سبحان الذي سخر لنا هذا و ما كنا له مقرنين و إنا إلى ربنا لمنقلبون اللهم إني أسألك في سفرنا هذا البر و التقوى و من العمل ما ترضى اللهم هون علينا سفرنا هذا و أطو عنا بعده اللهم أنت الصاحب في السفر و الخليفة في الأهل اللهم إني أعوذ بك من وعثاء السفر و كآبة المنظر و سوء المنقلب في المال و الأهل". و إذا رجع قالهن و زاد فيهن " آيبون تائبون عابدون لربنا حامدون " خرجه مسلم


العلاقة بين ميلى مستقيمين متوازيين .
المستقيمان المتوازيان ميلهما متساويان والعكس صحيح
إذا كان م1 ميل المستقيم ل1 ، م2 ميل المستقيم ل2 وكان م1 = م2 ل1 // ل2
مثال (1)
اثبت أن المستقيم الذى معادلته : 3س + 2ص = 4 يوازى المستقيم الذى معادلته : 4ص = 6س – 8
الحل
ميل المستقيم الأول = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ
المستقيم الثانى : 4ص = ــ 6س + 8 (÷4)
ص = ــــ س + 2
ميل المستقيم الثانى = ـــــــ
∵ ميل المستقيم الأول = ميل المستقيم الثانى
∴ المستقيمان متوازيان
مثال (2)
اثبت أن المستقيم الذى معادلته : 4س ــ 7ص = ك يوازى المستقيم الذى يمر بالنقطتين أ (ــ 4 ، 1 ) & ب (3 ، 5 ) ؟
الحل
ميل المستقيم الأول = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ = ــــ
المستقيم الثانى يمر بالنقطتين أ(ــ 4،1) & ب(3 ، 5 )
ميل المستقيم الثانى = ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ =
∵ ميل المستقيم الأول = ميل المستقيم الثانى
∴ المستقيمان متوازيان
&ملحوظةK
لإثبات أن الشكل أ ب جـ د متوازى أضلاع نثبت أن :
ميل أ ب = ميل جـ د
ميل أ د = ميل ب جـ
مثال (3)
اثبت أن النقط : أ (-2،4) ، ب(5،-3)، جـ (1،7) ، د(8،0) هى رؤوس متوازى أضلاع ؟
الحل
ميل أ ب = ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ــــ = - 1

ميل جـ د = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــ = - 1
∵ ميل أ ب = ميل جـ د = -1
∴ أ ب // جـ د (1)
ميل أ د = ـــــــــــــــ = ــــ = 2

ميل ب جـ = ــــــــــــــــــــ = ــــ = 2

∵ ميل أ د = ميل جـ ب = -1
∴ أ ب // جـ د (2)
من (1) & (2) نجد أن الشكل أ ب جـ د متوازى أضلاع
مثال (4)
إذا كان المستقيم الذى معادلته : ك س + 3ص = 8 يوازى المستقيم المار بالنقطتين أ(3،2) ، ب(-1، 4) فاوجد قيمة ك ؟
الحل
ميل المستقيم الأول = ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ
ميل المستقيم الأول = ــــــــــــــــ = ــــــ
∵ المستقيمان متوازيان
∴ميل المستقيم الأول = ميل المستقيم الثانى

ـــــــ = ـــــــ 3 ك = 3
ك = 1
&ملحوظةK
لإثبات أن النقط أ ، ب ، جـ تقع على استقامة واحدة
نثبت أن : ميل أ ب = ميل ب جـ
مثال (5)
اثبت أن النقط أ (3،2) ، ب (1،1) ، جـ (0،-1) تقع على استقامة واحدة ؟
الحل
ميل أ ب = ــــــــــــــ = ــــــ = 2 (1)

ميل جـ ب = ــــــــــــــ = ــــــ = 2 (2)
من (1) & (2) نجد أن أ ، ب ، جـ تقع على استقامة واحدة
مثال (6)
اوجد معادلة المستقيم الذى يقطع من محور الصادات الموجب 3 وحدات ويوازى المستقيم المار بالنقطتين س (3،2) ، ص (1،5) ؟
الحل
الميل = ــــــــــــــ = ـــــــ
ب = 3
معادلة المستقيم تكون على الصورة : ص= أس + ب
معادلة الخط المستقيم هى : ص = ـــــ س + 3
العلاقة بين ميلى مستقيمين متعامدين .
المستقيمان المتعامدان حاصل ضرب ميلهما يساوى سالب واحد والعكس صحيح
إذا كان م1 ميل المستقيم ل1 ، م2 ميل المستقيم ل2 وكان م1 × م2 = - 1 ل1 ┴ ل2
مثال (1)
اثبت أن المستقيم الذى معادلته : 3س + 2ص = 4 يوازى المستقيم الذى معادلته : 6ص = 4س +1
الحل
ميل المستقيم الأول م1= ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ
المستقيم الثانى : 6ص ــ 4س =1
ميل المستقيم الثانى م2 = ــــــــــــــــــــــــ = ـــــ = ــــ
∵ م1 × م2 = ــــ × ــــ = -1
∴ المستقيمان متعامدان
مثال (2)
اثبت أن المثلث أ ب جـ قائم الزاوية فى ب حيث
أ (-1،-1) ، ب (3،2) ، جـ (0،6) ؟
الحل
ميل أ ب = ــــــــــــــــــــــ = ـــــ

ميل ب جـ = ـــــــــــــ = ـــــ

∵ م1 × م2 = ــــ × ــــ = -1
∴ المستقيمان متعامدان
∴ ق(< ب) = 90 ْ #
مثال (3)
إذا كان المستقيم الذى معادلته : ص = ك س + 7 عمودى على المستقيم المار بالنقطتين أ(3،2) ، ب(-1، 4) فاوجد قيمة ك ؟
الحل
ميل المستقيم الأول = ك
ميل المستقيم الأول = ــــــــــــــــ = ــــــ
∵ المستقيمان متعامدان
∴ميل المستقيم الأول × ميل المستقيم الثانى = -1
م1 × م2 = ك × ــــ = -1 (×3)
ك = 3
مثال (4)
إذا كان المستقيم : ك س –2 ص + 3 =0 عمودي على المستقيم : 2س+ 3ص = 24 اوجد قيمة ك ؟
الحل
م1 = ك ÷ 2
م2 = ( – 2 ÷ 3 )
المستقيمان متعامدان
م1 × م2 = – 1
ك – 2
2 3
ك = 3 #
فــي الــطـعــام و الشــراب
قالت عائشة رضي الله عنها: قال رسول الله صلى الله عليه و سلم : " إذا أكل أحدكم فليذكر اسم الله تعالى في أوله فإن نسـي أن يذكر الله في أوله فليقل : بسم الله أوله و آخره " قال الترمذي

& ملحوظةK
لإثبات أن الشكل أ ب جـ د مستطيل نثبت أن :
ميل أ ب = ميل جـ د
ميل أ د = ميل ب جـ
نثبت أن ق(< ب ) = 90 ْ
مثال (5)
اثبت أن النقط : أ (0،1) ، ب(-1،4)، جـ (7، ، د (4،9) هى رؤوس مستطيل ؟
الحل
ميل أ ب = ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ــــ = - 2

ميل جـ د = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــ = - 2
∵ ميل أ ب = ميل جـ د = -2
∴ أ ب // جـ د (1)
ميل أ د = ـــــــــــــــ = ــــ = ــــ

ميل ب جـ = ــــــــــــــــــــ = ــــ = ـــــ

∵ ميل أ د = ميل جـ ب = ــــ
∴ أ ب // جـ د (2)
من (1) & (2) نجد أن الشكل أ ب جـ د متوازى أضلاع
∵ ميل أ ب × ميل ب جـ = -2 × ــــ = -1
∴ المستقيمان متعامدان
∴ ق(< ب) = 90 ْ
الشكل أ ب جـ د مستطيل #

مثال (6)
اوجد ميل المستقيم العمودى على المستقيم المار بالنقطتين أ = (2،-3) ، ب = (5،3) ؟
الحل
ميل المستقيم المار بالنقطتين أ (2،-3) ، ب (5،3) هــــــــــــو ـــــــــــــــــــــ = ــــ = 8
ميل المستقيم العمودي عليه هـــــــــــــــــــو ــــــــ
مثال (7)
اوجد معادلة المستقيم الذى يقطع من محور الصادات السالب 6 وحدات ويكون عموديا على المستقيم الذى معادلته : 3س – 4ص = 5
الحل
ميل المستقيم : 3س + 4ص = 5 هـــــــــو ـــــــ
ميل المستقيم المطلوب معادلته هــــــــو ــــــ
معادلة المستقيم تكون على الصورة : ص = أس + ب
ص = ـــــ س – 6 (×3)
3 ص = 4س – 18
مثال (
اوجد معادلة المستقيم العمودى على المستقيم المار بالنقطتين أ (5،2) ، ب (-3، 4) ويمر بنقطة الأصل
الحل
ميل المستقيم المار بالنقطتين أ (5،2) ، ب (-3، 4)
هــــــــــو ـــــــــــــــ = ــــــ = ـــــ
ميل المستقيم المطلوب معادلته هــــــــــــو - 5
المستقيم يمر بنقطة الأصل
الجزء المقطوع من محور الصادات = صفر
معادلة المستقيم المطلوب هى : ص = - 5س
إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة .
إذا كان أ = (س1 ، ص1) ، ب = (س2،ص2) وكانت النقطة د منتصف أ ب فإن إحداثى النقطة
د = ـــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــ

مثال (1)
اوجد احداثى منتصف أ ب حيث أ (3،2) ، ب(5،4)
الحل
د = ـــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــ
د = ــــــــــــــ ، ـــــــــــــ = (3 ، 4)
مثال (2)
اوجد احداثى منتصف أ ب حيث أ (-5،4) ، ب(5،-4)
الحل
د = ـــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــ
د = ــــــــــــــ ، ـــــــــــــ = ( 0، 0)
مثال (3)
إذا كانت د = (3، -2) منتصف أ ب حيث أ = (س،2) ، ب = (3،ص) فاوجد قيمتى س ، ص ؟
الحل
د = ـــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــ
(3، -2) = ــــــــــــــ ، ـــــــــــــ
3 = ـــــــــــــــ -2 = ـــــــــــــ
س + 3 = 6 ص + 2 = -4
س = 3 ص = -6
مثال (4)
إذا كانت أ=(-1،-1) ، ب = (3،2) ، جـ = (0،6) , د =و(3، -4) فاثبت أن أ جـ ، ب د ينصف كلا منهما الأخر ؟ وما اسم هذا الشكل ؟
الحل
للطالب
فضل التسبيح و التحميد و التهليل و التكبير عن أبي هريرة رضي الله عنه، عن النبي صلى الله عليه و سلم قال : " من قال لا إله إلا الله وحده لا شريك له، له الملك و له الحمد و هو على كل شيء قدير في كل يوم مائة مرة كانت له عدل عشر رقاب، و كتبت له مئة حسنة و محيت عنه مائة سيئة و كانت له حرزا من الشيطان يومه ذلك حتى يمسي و لم يأت أحد بأفضل مما جاء به إلا رجل عمل أكثر منه " رواه البخاري و مسلم
مثال (5)
أ ب جـ د فيه أ ( 1 ، 2 ) ، ب ( - 3 ، 5 ) ، جـ ( -2 ، 7 ) أوجد إحداثي النقطة د ؟
الحل
نفرض أن م هي نقطة تقاطع القطرين أ جـ ، ب د
∵ م منتصف أ جـ
∴ م = ـــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــ
م = ــــــــــــــ ، ـــــــــــــ = ـــــ ، ــــــ
∴ م منتصف ب د
م = ـــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــ
م = ــــــــــــــ ، ـــــــــــــ
المسقط الأول = المسقط الأول
ــــــــــــــــ = ـــــ
2 س – 6 = ــ 2
2 س = 6 – 2
2 س = 4
س = 2
المسقط الثانى = المسقط الثانى
ــــــــــــــــ = ـــــ
2 ص + 10 = 18
2 ص = 18 – 10
2 ص = 8
ص = 4
إحداثي النقطة د = ( 2 ، 4 )
مثال (6)
إذا كانت النقطة أ تقع على محور السينات ، النقطة ب تقع على محور الصادات وكانت النقطة جـ (-4، 3) منتصف أ ب فاوجد إحداثى كل من أ ، ب ؟
الحل
نفرض أن إحداثى النقطة أ هـــو (س،0)
نفرض أن إحداثى النقطة ب هـــو (0،ص)
ب = ـــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــ
(-4 ،3) = ــــــــــــــ ، ـــــــــــــ
-4 = ــــــ 3 = ــــــ
س = - 8 ص = 6


فضل الذكر
قال النبي صلى الله عليه و سلم " لقيت إبراهيم ليلة أسري بي فقال لي: يا محمد أقرئ أمتك مني السلام و اخبرهم أن الجنة طيبة التربة عذبة الماء و أنها قيعان و أن غراسها سبحان الله و الحمد لله و لا إله إلا الله و الله أكبر " قال الترمذي حديث حسن.
*******
عن أبي موسى الأشعري رضي الله عنه قال : قال النبي صلى الله عليه و سلم :" ألا أدلك على كنز من كنوز الجنة"؟ فقلت: بلى يا رسول الله. قال " قل لا حول و لا قوة إلا بالله " متفق عليه
البعد بين نقطتين .
إذا كان أ = (س1 ، ص1) ، ب = (س2 ، ص2)
فإن أ ب = (س2 – س1)2 + (ص2 – ص1)2
مثال (1)
إذا كان أ (2 ، 3) ، ب (– 5 ،1) أوجد طول أ ب ؟
الحل
أ ب = ( س2 – س1 ) 2 + ( ص2 – ص1 ) 2
أ ب = ( – 5 – 2 ) 2 + ( 1 – 3 )2
أ ب = 49 + 4 = 53
& ملحوظةK
* أ ، ب ، جـ على استقامة واحدة تعنى أن مجموع أصغر بعدين منهما يساوي البعد الأكبر
* أ ب جـ مثلث متساوي الأضلاع فان
أ ب = أ جـ = ب جـ
* أ ب جـ مثلث متساوي الساقين فان
أ ب = أ جـ أو أ جـ = ب جـ
* أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب
فان ( أ جـ ) 2 = ( أ ب ) 2 + ( ب جـ ) 2
* أ ب جـ مثلث منفرج الزاوية في ( ب ) فان :
( أ جـ) 2 > ( أ ب ) 2 + ( ب جـ ) 2
* المثلث أ ب جـ يكون حاد الزوايا إذا كان
(أ جـ)2 < ( أ ب)2 + ( ب جـ)2 ( أ جـ أكبر ضلع )

مثال (2)
اثبت أن النقط أ = (1 ، 3 ) ، ب = ( 5 ، -1 ) ، جـ = ( 3 ، 1 ) على استقامة واحدة ؟
الحل
أ ب = (– 1– 3)2+ (5 – 1)2 = 32 = 4 2
ب جـ= (3 – 5)2+(1– (- 1))2 = 8 = 2 2
أ جـ = (3 – 1)2 +(1 – 3)2 = 8 = 2 2
أ ب = ب جـ + أ جـ
أ ، ب ، جـ على استقامة واحدة #
مثال (3)
اثبت أن النقط أ = ( 3 ، 2 ) ، ب = ( 1 ، - 4 ) ، جـ= ( -1 ، 0 ) هي رؤوس مثلث متساوي الساقين ؟ أوجد مساحته ؟
الحل
أ ب = (3 – 1)2 + (2 – (-1))2 = 40 = 2 10
أ جـ = (3– (-1)2+ (2–0)2 = 20 = 2 5
ب جـ = (1– (- 1)2 + (-4 –0)2= 20= 2 5
أ جـ = ب جـ المثلث متساوي الساقين #
( أ ب ) 2 = ( أ جـ) 2 + ( ب جـ) 2 المثلث قائم #
مساحة المثلث أ ب جـ = ــــ × أ جـ × ب × جـ
= ــــ × 2 5 × 2 5 = 10 وحدة مربعة

& ملحوظةK
لإثبات أن الشكل أ ب جـ د متوازي الأضلاع نثبت أن
أ ب = جـ د
ب جـ = أ د
لإثبات أن الشكل أ ب جـ د معين نثبت أن :
أ ب = ب جـ = جـ د = د أ
لإثبات أن الشكل أ ب جـ د مستطيل نثبت أن :
أ ب = جـ د
ب جـ = أ د
أ جـ = ب د
لإثبات أن الشكل أ ب جـ د مربع نثبت أن :
أ ب = ب جـ = جـ د = د أ
أ جـ = ب د
مثال (4)
اثبت أ ن النقط أ(1، 4) ، ب (4 ،9) ، جـ (- 1، 12) ، د ( -4 ، 7 ) هي رؤوس مربع ؟
الحل
أ ب = (1– 4)2+ (4 – 9)2 = 9 + 25 = 34
ب جـ = (4 – ( – 1 )) 2 + ( 9 – 12 ) 2
ب جـ = 25 + 9 = 34
جـ د = (– 1 – ( ــ 4)) 2 + ( 12 – 7 ) 2
جـ د = 9 + 25 = 34
د أ = (ــ 4 – 1)2+ (7–4)2= 25 + 9 = 34
أ ب = ب جـ = جـ د = د أ (1)
أ جـ = (1– (ــ1))2+(4–12)2= 4 +64= 68
ب د = ( 4 – (– 4 ))2 + (9 – 7)2 = 64 + 4 = 68
أ جـ = ب د (2)
من (1) ، (2) نجد أن الشكل أ ب جـ د مربع #
تدريب ( 1 )
اثبت أ ن النقط أ( 5 ، 9 ) ، ب ( -2 ،2 ) ، جـ ( 1 ، 6 ) ، د ( 2 ، 5 ) هي رؤوس معين ؟
تدريب ( 2 )
اثبت أ ن النقط أ(-2،1) ، ب (1،3) ، جـ (5 ، - 3) ، د( 2، - 5) هي رؤوس مستطيل ؟


* إذا كانت النقط أ ، ب ، جـ ، د تنتمي للدائرة م فان : م أ = م ب = م جـ = م د = نق
مثال (5)
اثبت أ ن النقط أ = ( 3 ، 2 ) ، ب = ( 1 ، - 4) ، جـ = ( - 1 ، 0 ) تنتمي لدائرة واحدة مركزها م = ( 2 ، - 1 ) و أوجد مساحتها ؟
الحل
م أ = (3–2)2+(2– (– 1))2 = 1+ 9 = 10
م ب = (1–2)2+(ــ4ــ (–1))2 = 1+ 9= 10
م جـ = (ــ1– 2)2 + ( 0ــ (– 1))2= 9+1= 10
م أ = م ب = م جـ = 10
النقط أ ، ب ، جـ تنتمي لدائرة واحدة
مساحة الدائرة = ط نق 2 =14, 3× 10= 4و31 سم2
لا ثبات أن الشكل شبه منحرف
نثبت أن هناك ضلعان متوازيان باستخدام الميل
و غير متساويين في الطول باستخدام البعد
مثال (6)
اثبت أن النقط أ = (- 1 ، 0) ، ب = ( 7 ، 4 ) ، جـ = (5 ، ، د = (1،6) هي رؤوس شبه منحرف؟
الحل
للطالب

مثال (7)
إذا كان بعد النقطة أ (1،4) عن النقطة ب (1،ص) يساوى 5 وحدات فاوجد قيمة ص ؟
الحل
أ ب = (1 – 4)2 + (ص – 1)2
أ ب = 9 + ص2 – 2ص + 1 = 5
ص2 – 2ص + 10 = 5 بالتربيع
ص2 – 2ص + 10 = 25
ص2 – 2ص – 15= 0
( ص – 5 ) ( ص + 3 ) = 0
ص = 5 ، ص = -3
مثال (
إذا كانت النقطة م (س،1) على بعدين متساويين من النقطتين أ (2،4) ، ب (3،3) اوجد قيمة س ؟
الحل
م أ = (س – 4)2 + (1 – 2)2
م أ = س2 – 8س + 16 + 1
م أ = س2 – 8س + 17
م ب = (س – 3)2 + (1 – 3)2
م ب = س2 – 6س + 9+ 4
م ب = س2 – 6س + 13
∵ م أ = م ب
∴ س2 – 8س + 17 = س2 – 6س + 13
س2 – 8س + 17 = س2 – 6س + 13
ــ 8س + 6س = 13 – 17
ــ 2س = - 4
س = 2
مثال (9)
أ ب جـ مثلث فيه أ (6،3) ، ب (2،6) ، (2،0) فاوجد
إحداثى النقطة د منتصف ب جـ
طول أ د
اثبت أن أ د ┴ ب جـ
مساحة المثلث أ ب جـ
الحل
للطالب
مثال (10)
أ ب جـ مثلث فيه أ (6،3) ، ب (2،6) ، (2،0) فاوجد
إحداثى النقطة د منتصف ب جـ
طول أ د
اثبت أن أ د ┴ ب جـ
مساحة المثلث أ ب جـ
الحل