سلسلة مسائل جيب تمام الزاوية

أثبت أن ( جـ ََ)^2 = ( ب َ )^2 + ( أ َ )^2 – 2 أ َ بَ حتا حـ

فى المثلث أ ب ء قائم فى ء
(أ ب)^2 = (أ ء )^2 + (ب ء) ^2 (1)
ولكن بء = ب حـ - ء حـ بتربيع الطرفين
(ب ء )^2 = (ب حـ ) ^2+ (ء حـ) ^2- 2 ( حـ ء ) ( ب حـ) (2)
بالتعويض بـ 2 فى 1
(أ ب)^2 = (أ ء )^2 +(ب حـ ) ^2+ (ء حـ) ^2- 2 ( حـ ء ) ( ب حـ) (3)
ولكن فى المثلث أ ء جـ قائم فى ء
(أء)^2 = (أ حـ)^2 – ( ء حـ)^2 (4)
بالتعويض بـ 4 فى 3
(أ ب)^2 = (أ حـ)^2 – ( ء حـ)^2 +(ب حـ ) ^2+ (ء حـ) ^2- 2 ( حـ ء ) ( ب حـ)
(أ ب)^2 = (أ حـ)^2 +(ب حـ ) ^2- 2 ( حـ ء ) ( ب حـ) (5)
ولكن فى المثلث أ ء جـ قائم فى ء
حـ ء= أحـ حتا حـ
(أ ب)^2 = (أ حـ)^2 +(ب حـ ) ^2- 2 ( ب حـ) ( أ حـ ) حتا حـ
اذا ( جـ ََ)^2 = ( ب َ )^2 + ( أ َ )^2 – 2 أ ب َ حتا حـ

مماسق نستنتج أ ن
(1) (أ َ)^2 = (ب َ)^2 + ( حـَ)^2 - 2(بَ) (حـَ) حتا أ
(2) (ب َ)^2 = (أ َ)^2 + ( حـَ)^2 - 2( أ َ)( حـَ) حتا ب
(3)(حـَ)^2= ( أ َ )^2 + ( بَ)^2 - 2( أ َ) ( ب َ) حتا حـ


يستخدم قانون حيب تمام الزاوية فى الحالات الاتية
(1) إذا علم أطوال أضلاع المثلث الثلاثة
(2) إذا علم طول ضلعين فى المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما

السؤال الأول
س ص ع مثلث فيه ص ع : س ع : س ص = 4 : 5 : 6 اثبت ان ق ( ع ) = 2 ق ( س )
الحل
نفرض ان
ص ع =4م , س ع=5م ، س ص=6م
جتا(ع)=((س ع)^2+(ع ص)^2 _(س ص)^2 ) / (2(س ع )(ع ص ))
=(25 م^2 +16 م^2 _36 م^2)/ (2) (5م)(4م )
=5م^2 /40 م^2
=1/8
ق (ع )=9.28 49 82 (1)

جتا (س)=((س ص )^2 +(س ع)^2 _(ع ص)^2 ) /((2) (س ص )(س ع ))
=(36 م^2 +25 م^2 _16 م^2 ) /((2) (6 ) (5))
=45 م^2 /60 م^2
=3/4
ق (س )=34.64 24 41
2 ق (س) =9.28 49 82 (2)

من 1 و 2
ينتج أن

ق ( ع ) = 2 ق ( س )

السؤال الثانى
أ ب حـ مثلث فيه بَ= 30سم , حـَ = 14سم ، ق(<أ)= 60 ْ أوحد طول أ َ
الحل (أ َ)^2 = (ب َ)^2 + ( حـَ)^2 - 2(بَ) (حـَ) حتا أ
(أ َ)^2 = (30َ)^2 + ( 14)^2 - 2(30) (14) حتا 60
(أ َ)^2 =676
أ َ= 26سم

السؤال الثالث
أ ب حـ مثلث فيه بَ= 9سم , حـَ = 8سم ، أ َ=10سم أوحد ق(<ب)
الحل
حتاب = (أ َ ^2 +حـ َ^2 - بَ ^2 ) /2 أ َ حـ َ
حتاب = (10َ ^2 +8^2 - 9 ^2 ) /2 ×10×8
حتاب =83/160
ق(<ب)=59 ْ تقريبا

السؤال الرابع
[أ ب حـ مثلث فيه أ َ= 4سم , ب َ = 6سم , ق(<حـ)= 57 ْ أوجد محيط المثلث أ ب حـ الحل
(حـَ)^2= ( أ َ )^2 + ( بَ)^2 - 2( أ َ) ( ب َ) حتا حـ
(حـَ)^2=16 + 36 - 2× 4×6
(حـَ)^2=28
حـَ= 5سم
محيط المثلث = 15سم
السؤال الخامس
أ ب حـ مثلث فيه أ =13 سم , ب= 14 سم , حـ= 15سم
فأوجد طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب حـ
الحل
جتا أ = ( ب^2 + حـ^2 - أ^2 )/2 ب حـ
حتاأ = (196 +225 - 169 ) /2×14 ×15
حتا أ = 252/420
ق(<أ)=

السؤال الخامس
أوجد قياس أكبر زاوية فى المثلث س ص ع الذى فيه س َ= 24.5 , ص َ = 18سم , ع َ = 10سم
ثم أوجد محيط الدائرة المارة برؤوسه (ط= 22/7 )
الحل
اكبر زوايا المثلث هى س
حتا س = ( ص^2 + ع^2 - س^2 )/ 2 ص ع
حتاس= ( 18 ^2 + 10^2 - 24.5^2 ) / ( 2× 18 ×10)=- 47/96
ق(س)= 19 َ 119 ْ
نق = س/ 2حاس = 24.5 / 2حا 19 َ 119 ْ = 14سم تقريبا
محيط الدائرة = 2ط نق = 2× (22/7)× 14= 88 سم

السؤال السادس
أ ب ح مثلث فيه حتا أ = 0.4 , ب َ =2.5 سم , حَ = 2سم
أثبت ان المثلث متساوى الساقين
الحل
(أ َ)^2 = (ب َ)^2 + ( حـَ)^2 - 2(بَ) (حـَ) حتا أ
(أ َ)^2 = (2.5)^2 + ( 2)^2 - 2(2.5) (2) (0.4 )=6.25
أ َ = 2.5 سم
بما أن أ َ = بَ
المثلث متساوى الساقين

السؤال السابع
س ص ع مثلث فيه حاس : حاص : حاع = 7 :8 :12
أوحد قياس أكبر زواياه
الحل
سَ : صَ : عَ = حاس : حاص : حاع
ولكن حاس : حاص : حاع = 7 :8 :12
اذا سَ : صَ : عَ= 7م :8م :12م
اكبر زوايا المثلث هى ع
جتاع =( سَ^2 + صَ^2 - عَ^2 ) / 2 سَ صَ
حتاع = ( 49م^2 + 64م^2 - 144 م^2)/ 112 م^2
حتاع = -31/112
ق(<ع ) =4 َ 106 ْ

السؤال الثامن
أ ب ح مثلث فيه : ب َ^2 = ( حَ - أ َ )^2 + ح َ أ َ
أوجد : ق(< ب)
الحل
بَ^2 = حَ ^2 + أ َ^2 - 2 ح َ أ َ + ح َ أ َ
بَ^2 = حَ ^2 + أ َ^2 - ح َ أ َ (1)
ولكن (ب َ)^2 = (أ َ)^2 + ( حـَ)^2 - 2( أ َ)( حـَ) حتا ب (2)
من 1,2
حَ ^2 + أ َ^2 - ح َ أ َ= (أ َ)^2 + ( حـَ)^2 - 2( أ َ)( حـَ) حتا ب
- ح َ أ =- 2( أ َ)( حـَ) حتا ب
-1 = -2 حتاب
حتاب= 1/2
ق(<ب)= 60 ْ

السؤال التاسع
فى المثلث أ ب ج إذا كان (أ َ +بَ +حَ)( أ َ +بَ - حَ ) = 3 أ َ ب َ
أثبت أن ق(<ح ) = 60 ْ
الحل
بفك الأقواس نجد أن
أ َ^2 + ب َ^2 - ح َ^2 + أ َ بَ = 3 أ َ بَ ولكن
َأ َ^2 + ب َ^2 - ح َ^2 = 2 أ َ ب َ حتاح
2 أ َ ب َ حتاح +2 أ َ بَ = 3 أ َ بَ
2 أ َ ب َ حتاح= أ َ بَ
حتاح = 1/2
ق(<ح ) = 60 ْ

السؤال العاشر
فى المثلث أ بح إذا كان حتاب/أ َ = حتاأ/بَ
أثنت أن المثلث أ ب ح متساوى الساقين أو قائم الزاوية
الحل
فى المثلث أ ب ح
أ َ/جاأ = بَ/حاب ــــــــــ إذا أ َ / بَ= حاأ /حاب (1)
ولكن من المعطى حتاب/أ َ = حتاأ/بَ
أ َ / ب َ = حتاب /حتاأ (2)
من (1) , (2)
اذا حاأ /حاب = حتاب /حتاأ
حاأ جتا أ = حاب جتاب بالضرب فى ×2
2 حاأ جتا أ =2 حاب جتاب
حا2 أ = حا 2ب
2 أ =2ب ومنها ق(<أ ) = ق(<ب)

المثلث أ ب ح متساوى الساقين

االسؤال الحادى عشر


أ ب ح ء متوازى أضلاع أثبت أن

(أح)^2 +(ب ء )^2 = 2(أب )^2 + 2(ب ح)^2
الحل

فى المثلث أ ب ح
(أح)^2 = (أ ب )^2 +(ب ح)^2 – 2(أ ب ) (ب ح) حتا (أ ب ح )
ولكن زاوية أ + ب= 180
ب = 180- أ
إذا حتا ب = حتا (180 – أ )= - حتا أ
اذا (أح)^2 = (أ ب )^2 +(ب ح)^2 + 2(أ ب ) (ب ح ) حتا أ (1)
فى المثلث ب أ ء
(ب ء )^2 = (أ ب )^2 + (أء )^2 – 2 (أ ب )(أ ء ) حتا أ
ولكن ب ح= أ ء
(ب ء )^2 = (أ ب )^2 + (ب ح )^2 – 2 (أ ب )(ب ح ) حتا أ(2)
بجمع 1 +2 ينتج أن

(أح)^2 +(ب ء )^2 = 2(أب )^2 + 2(ب ح)^2

السؤال الثانى عشر
أ ب ح مثلث , ء منتصف ب ح أثبت أن
(أ ب)^2 + (أ ح)^2 = 2(أء)^2 + 2(ءح)^2
الحل
فى المثلث أ ب ء
(أ ب ) ^2 = (أء)^2 +(بء)^2 - 2 (أء)(بء) حتا (<أءب)
ولكن بء = ء ح
(أ ب ) ^2 = (أء)^2 +(ء ح)^2 - 2 (أء)(ءح) حتا (<أءب) (1)
فى المثلث أءح
(أح )^2 = (أء)^2 + (ءح )^2 - 2( أء)(ءح)حتا (<أءح )
ولكن ق (<أءب)+ق (<أءح )= 180
اذا ق (<أءح )= 180 - ق (<أءب)
حتا (<أءح )= = -حتا (<أءب)
اذا (أح )^2 = (أء)^2 + (ءح )^2 + 2( أء)(ءح)حتا (<أءب)(2)
بجمع 1 +2
ينتج أن (أ ب)^2 + (أ ح)^2 = 2(أء)^2 + 2(ءح)^2

السؤال الثالث عشر
فى المثلث أ ب ح فيه
5 حاأ حاب = 6 حاب حاح = 9 حاح حاأ أوجد ق(<ح)
الحل
بقسمة المعطى على حاأ حاب حاح
ينتح أن
5 /حاح =6/حاأ =9/حاب
اذا أ َ= 6م , بَ= 9م , حَ = 5م
حتا ح = ( ب^2 + أ^2 - ح^2 )/ 2 ب أ
حتاح = 23/27
ق(<ح)= 31.5 ْ تقريبا

السؤال الرابع عشر
فى المثلث س ص ع إذا كان حتاص = عَ/2سَ أثبت أن
المثلث س ص ع متساوى الساقين وإذا كان حاع = جذر3 (حاس) أوجد ق(<س)
الحل
حتاص =( سَ^2 + عَ^2 -صَ^2 )/ 2سَ عَ
ولكن حتاص = عَ/2سَ
اذا (سَ^2 + عَ^2 -صَ^2 )/ 2سَ عَ = عَ/2سَ
ومنها 2سَ^2- 2 صَ^2 = صفر
سَ^2= صَ^2
سَ=صَ المثلث س ص ع متساوى الساقين
وبما أن حاع = جذر3 (حاس)
اذا جذر3/حاع = 1/حاس
أذا سَ= ام ، عَ= جذر3 م , صَ= 1م
حتاس = ( م^2 + 3م^2 - م^2 ) / 2×م × جذر3 م
حتاس= 3م^2 / 2 جذر3 م^2 = جذر3 /2
ق(<س)= 30 ْ

السؤال الخامس عشر
فى المثلث أ ب حـ فيهأ َ = 9سم , بَ= 15سم , حـَ= 21سم
أثبت أن حتا حـ - جذر3 حاحـ +2 = صفر
الحل
حتاحـ = (أ^2+ ب^2 - حـ^2 )/2 أ َ بَ
حتا حـ= ( 81 + 225 - 441 ) / 270
حتا حـ = -135 /270 = -1/2
حتا سالبه فى الثانى والثالث ولايأخذ الثالث لان محموع زوايا المثلث =180
اذا ق(< حـ) = 120 ْ
ومنها حا120 = حا60= جذر3/2
المطلوب =(-1/2) - (جذر3) (جذر3/2) +2 =-2 +2 = صفر

السؤال السادس عشر
أ ب ح ء رباعى دائرى فيه اب = 3سم , ح ء = 4سم ، ب ح = 5سم
ق(<ء)= 60 ْ
أوجد (1) طول ا ح , (2)= ق(ح ب ء)
الحل
المطلوب الأول بما أن ا ب ح ء رباعى دائرى
اذا ق(<ب)+ق(<ء)= 180
اذا ق(< ب)= 180 - 60 = 120 ْ
فى المثل أ ب ح فيه
ولكن (أح)^2 = (ا ب)^2+(ب ح)^2-2 اب×ب ح حتا (<أ ب ح )
(أح)^2 = 9+ 25 - 2×3×5×حتا120 ْ
(أح)^2 = 34 +15 =49
أ ح = 7سم
المطلوب الثانى فى المثلث أح ء
أح/حا<اءح =حء/حا<ح ا ء
7/حا60 = 4/حا< ح ا ء
حا<ح ا ء = (4×حا60 )/7 =0.4949

ق(<ح ا ء)= 40 َ 29 ْ
ولكن ا ب ح ء رباعى دائرى اذا ق(<ح ا ء )= ق(<ح ب ء ) مرسومتان على قاعدة واحدة حء
اذا ق(<ح ب ء ) = 40 َ 29 ْ

السؤال السادس عشر
إذا كانت طاأ =2 , طاب =3 فأوجد
طا( أ - ب ) , طا( أ + ب )
طاأ – طاب
طا( أ – ب) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 + طا أ طاب
2 -3
طا( أ – ب) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 + 6
-1
=ــــــــــ
7

طاأ + طاب
طا( أ + ب) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 - طا أ طاب
2 +3
طا( أ + ب) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 – 6
5
= ــــــــــــ = -1
-5

السابع عشر

اذا كانت ظا أ = 3/4 ظا ب = 2 : أ , ب زاويتين حادتين اوجد قيمه
جا(أ +ب ) , ظا (أ +ب)
الحل