سلسلة مسائل قانون الجيب

قانون الجيوب
الطريقة الأولى
إذا كان لدينا مثلث رؤوسه أ , ب . حـ ويقابلها على الترتيب أضلاع أطوالها على الترتيب أَ , بَ , حـَ فإن التناسب التالي يسمى قانون الجيوب
أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ .اثبات القانون
م ∆ أ ب جـ = (1/2) أَ بَ حاحـ ,,,,,,,,, (1)
م ∆ أ ب جـ = (1/2) أَ حـ حاب .............(2)
م ∆ أ ب جـ = (1/2) بَ حـَ حاأ ..............(3)
من 1 , 2 , 3 نستنتج أن
(1/2) أَ بَ حاحـ = (1/2) أَ حـ حاب = (1/2) بَ حـَ حا أ بالقسمة (1/2) أ َ بَ جـَ
اذا حا جـ / حـ = حاب / بَ = حأ أ / أ
اذا أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ .اثبات القانون
أثبات أن
أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ = 2 نق

بما أن ق( أ ) = (1/2)ق( م )
ولكن مء ينصف زاوية ب م حـ , ب حـ وعكودى على ب حـ
ق( أ ) = ق(ب م ء ) , حا ب م ء = ب ء / ب م = ب حـ / 2 نق
اذا حا أ = ب حـ / 2 نق بالتعويض فى
أ َ / حا أ = ( ب حـ ) × ( 2 نق / ب حــ ) = 2نق اذا
أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ = 2 نق
الطريقة الثانية
بما أن ق( أ ) = (1/2)ق( م )
ولكن مء ينصف زاوية ب م حـ , ب حـ وعكودى على ب حـ
ق( أ ) = ق(ب م ء ) , حا ب م ء = ب ء / ب م = ب حـ / 2 نق
اذا حا أ = ب حـ / 2 نق
اذا 2نق = ب جـ / حا أ بالمثل 2نق = أ ب / حاحـ , 2نق = أ حـ / حاب
اذا أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ = 2 نق
الطريقة الثالثة


نرسم المثلث أ ب حـ , أ ء عمودى على ب حـ
ب هـ عمودى على أ حـ

فى المثلث أ ب ء
حا ب = أ ء / أب = أء / حـَ
ومنها أ ء = حـَ حاب (1)
فى المثلث أ ء حـ
حا حـ = أء / أ حـ = أ ء / بَ
ومنها أء = بَ حاحـ (2)
من( 1 ), (2) نستنتج ان
حـَ حاب = بَ حاحـ
ومنها بَ/ حاب =حـَ / حاحـ (3)
بالمثل فى المثلث أب هـ
حاأ = ب هـ / أب = ب هـ / حـَ
ومنها ب هـ =حـَ حاأ (4)
فى المثلث ب هـ حـ
حا حـ = ب هـ / ب حـ = ب هـ / أَ
ومنها ب هـ = أ حا حـ (5)
من 4 , 5 نستنتج أن
أ حا حـ = حـَ حاأ ومنها
أ / حاأ = حـَ / حاحـ (6)
من 3 , 6 نستنتج أن
أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ

مراجعة أهم القوانين للصف الأول الثانوى
(1)حا ^2 س+حتا^2 س= 1
(2) 1 + طا^2 س = قا^2س
(3)1 + طتا^2 س = قتا^2س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جاس قتاس = 1
حتاس قاس =1
طاس طتاس =1
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
طاس = حاس/جتاس , طتا س = حتاس /حاس

السؤال الأول
أ ب حـ مثلث فيه اَ = 8سم , ق(أ) = 55 ْ , ق(ب) = 45 ْ , أوجد حـَ لاقرب سم
الحل
ق(حـ)= 180 - ( 55 ْ + 45 ْ ) = 80 ْ
ولكن اَ/حا ا = حـَ / حاحـ
8 / حا55 = حـَ / حا80 اذا حـَ = (8×حا 80 ) / حا55 = 9.62 =10سم

السؤال الثانى
س ص ع مثلث فيه ق(س ) = 80 , ق(ص) = 60 , ع َ = 10سم
أوجد طول كلا من س َ , ص َ لأقرب سم
الحل
ق(ص) = 180 - ( 80 +60 ) = 40 ْ
ولكن س َ/ حاس = ص َ /حا ص = ع َ/حاع
اذا س َ / حا80 = ص َ / حا60 = 10 / حا 40 ْ
اذا س َ / حا80 = 10 / حا 40 ْ ومنها س َ = (10 ×حا 80 ) / حا40 = 15.32 = 15 سم تقريبا
اذا ص َ / حا60 = 10 / حا 40 ْ ومنها ص َ =( 10× حا60 ) /حا40 = 13.47 سم = 13 سم تقريبا

السؤال الثالث
ا ب حـ مثلث فيه : ق(أ ) = 75 ْ , ق(حـ) =45 ْ , ب َ = 3سم
أوجد طول حـَ وطول نصف قطر الدائرة المارة برؤس المثلث أ ب حـ
الحل
ق(ب ) = 180 - 120 ْ ) = 60 ْ
ولكن ب / حا ب = حـَ / حاحـ
اذا 3 / حا 60 ْ = حـَ/ حا45
اذا حـ َ = ( 3 × حا 45 ْ )/ حا 60 ْ = جذر 6 سم

3 / حا 60 ْ = 2 نق
نق = حذر 3 سم

ملاحظات هام
اذا كان أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ : باستخدام خواص التناسب نجدأن
( اَ + ب َ + حـ َ ) / (حا ا + حا ب + حا حـ ) = أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ= 2 نق
( محيط المثلث ) / (حا ا + حا ب + حا حـ ) = أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ= 2 نق

اذا كان أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ فإن
ا َ : ب َ : حـ َ = حاأ : حاب : حا حـ
السؤال الرابع
أ ب حـ مثلث فيه ق( أ ) ؛ ق( ب ) : ق( حـ ) = 1 : 3 : 5
فإذا كان محيط المثلث 16 سم أوجد طول أصغ الأضلاع طولا
الحل
اذا كان ق( أ ) ؛ ق( ب ) : ق( حـ ) = 1 : 3 : 5
فإن س + 3 س + 5 س = 180 ْ
9 س = 180 ْ ومنها س = 20 ْ
اذا ق( أ )= 20 ْ , ق(ب) = 60 ْ , ق( حـ ) = 100 ْ
ولكن ( محيط المثلث ) / (حا ا + حا ب + حا حـ ) = أ / حاأ لان زاوية أ أضغر الزوايا
16 / ( حا20 + حا 60 + حا100 ) = اَ / حا20
اَ =( 16 × حا20 )/ ( حا20 + حا 60 + حا100 )= 2.49 = 2.5سم تقريبا

السؤال الخامس
حل المثلث أ ب حـ الذى فيه أ َ = 10 سم , ب َ = 12 سم , ق(أ ) = 50 ْ
الحل
أ / حاأ = بَ/ حاب
10 / جا50= 12 / حاب
حاب (12 × حا50 ) / 10 = 0.9193
ق(ب ) = 50 َ 66 ْ
ولكن ب َ > أَ اذا ق(ب) > ق(أ )
اذا ق(ب ) = 50 َ 66 ْ أو 10 َ 113 ْ
بفرض أن
ق(ب ) = 50 َ 66 ْ اذا ق(حـ) = 180 - 50 َ 116 ْ = 10 َ 63 ْ
ولكن اَ/ حا أ = حـ َ / جا حـ ومنها 10 / جا50= حـ َ / حا 10 َ 63 ْ
حـَ =( 10 × حا 10 َ 63 ْ) / حا 50 = 11.71 سم
وبفرض ق(ب ) = 10 َ 113 ْ
اذا ق(حـ) = 180 - 10 َ 163 ْ= 50 َ 16 ْ
ولكن اَ/ حا أ = حـ َ / جا حـ ومنها ومنها 10 / جا50= حـ َ / جا 50 َ 16 ْ

اذا حـ َ= ( 10 × حا 50 َ 16 ْ )/ حا 50 = 3.78 سم

السؤال السادس
فى المثلث أ ب حـ إذا كان
( اَ +ب َ - حـ َ )/3 = ( ا َ -ب َ+ حـ َ )/5= ( ب َ - ا َ + حـ َ ) /7
فأثبت أن حاأ : حاب : حاحـ= 4 : 5 : 6
الحل
اذا كان ( اَ +ب َ - حـ َ )/3 = ( ا َ -ب َ+ حـ َ )/5= ( ب َ - ا َ + حـ َ ) /7
بحمع مقدمات وتواليات النسبة 1 , 2 ينتج أن
2 ا َ /8 = م ومنها اَ / 4 = م (1)
بحمع مقدمات وتواليات النسبة 1 , 3 ينتج أن
2 ب َ/10 = م ومنها ب َ / 5 = م (2)
بحمع مقدمات وتواليات النسبة 2,3 ينتج أن
2 حـَ / 12 = م ومنها حـَ /6 = م (3)
من 1 , 2 , 3
نستنتج أن اَ / 4 = ب َ / 5 = حـَ /6
اذا اَ : بَ : حـ َ = 4 : 5 : 6
ولكن ا َ : ب َ : حـ َ = حاأ : حاب : حا حـ = 4 : 5 : 6

السؤال السابع
مثلث أب جـ فية أ ب = 7 سم ، ق(< ب ) = 63 ْ ، ق ( < جـ ) = 42 ْ
أوجد
أوجد
1) محيط المثلث
2) مساخة المثلث
3) مساحة الدائرة الخارجة للمثلث
الحل
ق(<أ ) = 180 - 105 ْ = 75 ْ
ا َ/جا أ = ب َ / حاب = حـَ/ جاحـ
اذا أ/ حا 75 = بَ / حا63 ْ = 7/ حا 42 ْ
أ = (7 × حا75)/ حا42 = 10.1 سم
بَ = (7× حا63 ) / حا42 = 9.3 سم
1 )محيط المثلث
= 7+9.3+10.1 = 26.4 = تقريبا 26 سم
2) مساخة المثلث
= 1/2 ×7×9.3×جا 75= 31.44سم مربع
7/ حا 42 ْ= 2 نق اذا نق= 5.2 سم

3) مساحة الدائرة الخارجة للمثلث= ط نق^2
= 3.141 × (5.2)^2

=85.39 سم مربع

السؤال الثامن
أثبت أن مساحة سطح المثلث = أ بَ جـَ /4 نق
م المثلث = (1/2) أ بَ جا حـ (1)
ولكن حـَ / حاحـ = 2نق
حا حـ= حـَ /2نق بالتعويض فى (1)
اذا م المثلث = (1/2) (أ بَ) (حـَ /2نق )= أ بَ جـَ /4 نق

السؤال التاسع
المثلث س ص ع فيه حاس + حاص + حاع = 2.37 ومحيطه = 56.88 سم
أوحد طول (نق) للدائرة المارة برؤوسه
الحل
( محيط المثلث ) / (حا ا + حا ب + حا حـ ) = 2 نق
(56.88 )/ 2.37 = 2نق
نق = 12 سم
السؤال العاشر
أثبت أن مساحة سطح الدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب حـ = (ط أ َبَ ) /(4حاأ حاب )
الحل
مساحة سطح الدائرة = ط نق^2
ولكن أ / حاأ = 2 نق ومنها نق = أ / 2حاأ
بَ/ حاب =2 نق ومنها نق = بَ/ 2حاب
مساحة سطح الدائرة = ط ( أ / 2حاأ ) (بَ/ 2حاب )= (ط أ َبَ ) /(4حاأ حاب )

السؤال الحادى عشر
أ ب حـ مثلث فيه 6حاأ = 4حاب = 3حاحـ , ومحيطه =45سم
أوجد طزل أ َ , حـَ
الحل
6حاأ = 4حاب = 3حاحـ يالقسمة على 12
حاأ/2 = حاب /3 = حاحـ/4
اذا أ َ = 2م , بَ = 3 م , حـَ = 4 م
ومحيطه =45
2م + 3م + 4م =45
9م = 45 اذا م = 5
طول أ َ = 10 سم
حـَ= 20سم

السؤال الثانى عشر
أ ب حـ ء متوازى أضلاع فيه أ ب = 18.6 سم , ق(< حـ أ ب )= 32 َ 36 ْ , ق( ء ب أ )= 38 َ 44 ْ
أوجد طول أ جـ , ومساحة المتوازى أ ب حـ ء
الحل


فى المثلث أ ب م
ق( < أ م ب ) = 180 - ( 10 َ 81 ْ ) = 50 َ 8 9 ْ
أ ب / جا 50 َ 98 ْ = أ م / حا 38 َ 44 ْ
18.6 / جا 50 َ 98 ْ = أ م / حا 38 َ 44 ْ
أ م = (18.6×حا 38 َ 44) / جا 50 َ 98= 13.23 سم
أحـ = 26.46 سم
مساحة المتوازى أ ب حـ ء = 2 مساحة المثلث أ ب حـ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,= 2× (1/2) أ ب × أ حـ × حا( ب أ حـ)
’,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,= أ ب × أ حـ ×حا( ب أ حـ)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,= 18.6× 26.46× حا 32 َ 36 ْ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,= 292.7 سم 2

السؤال الثالث عشر
أ ب حـ ء شبه منحرف فيه أ ب يوازى ب حـ
ق(< ب ) = 2 ق(< أ حـ ب ) = 84 ْ , أ ء = ء حـ , أ حـ = 20 سم
أوجد محيط شبه منحرف أ ب حـ ء
الحل

فى المثلث أ ب حـ
ق( ب أ حـ ) = 180 ْ – 126 ْ= 54 ْ
أ ب / حا42 = أ حـ/ جا84 = ب حـ / حا54
أ ب / حا42 = 20/ جا84
أ ب =( 20 × حا42 )/حا84 = 13.5 سم
20/ جا84 = ب حـ / حا54
ب حـ =( 20× حا54)/ جا84=16.3 سم
أ ء يوازى ب حـ , أ حـ قطع لهما
ق( < ء أ حـ ) = ق ( < أ حـ ب )= 42 ْ
اذا ق( أ ء حـ ) = 180 ْ – 84 ْ = 96 ْ
فى المثلث أ ء حـ
ء حـ / حا42 = 20 /حا 96
ء حـ = ( 20 × حا42 ) / حا96 = 13.5سم
ولكن أ ء = ء حـ = 13.5 سم
محيط شبه منحرف أ ب حـ ء = 13.5 +16.3 + 13.5 + 13.5=56.8 سم

السؤال الرابع عشر
أوجد محيط المثلث أ ب حـ فيه أ َ = 14 سم , ق( <ب) 60 ْ
ومساحة سطحه 49 جذر 3 سم 2
الحل

مساحة المثلث أ ب حـ = (1/2) ( حـَ × أ َ ) حاب
49 جذر 3 = (1/2) ( حـَ × 14 ) حا60 ْ
49 جذر 3 = (1/2) ( حـَ × 14 ) (حذر 3/2)
حـَ= 14 سم
ولكن أ َ = حـَ
ق(<جـ ) = ق( < أ ) =60 ْ
المثلث أ ب حـ متساوى الأضلاع
محيط المثلث = 42سم

السؤال الخامس عشر
أ ب حـ مثلث فيه ق(< أ ) : ق( <ب ) : ق(<حـ ) = 2 : 3: 4
وطول قطر الدائرة المارة برؤوسه 6سم أوجد مساحة المثلث لأقرب سم 2
الحل
ق(< أ ) + ق( <ب ) +ق(<حـ ) =180
2م + 3م + 4م =180
9م =180 اذا م = 20
ْ ق(< أ )40 ْ , ق( <ب ) = 60 ْ , ق(<حـ )= 80 ْ
أ أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ = 2 نق
أأ/حا40 = 6 ومنها أ =3.9سم
بَ/ حاب = 2نق
بَ/حا 60 = 6 ومنها بَ= 5.2 سم
مساحة المثلث = (1/2) أَ بَ حاحـ = (1/2)× 3.9× 5.2 ×حا 80 = 10سم

السؤال السادس عشر
حل المثلث أ ب جـ فيه ق(أ ) = 45 ْ , ق(ب) = 60 ْ ومحيط الدائرة المارة
برؤوسة = 88 سم
الجل
ق(حـ) = 180 – 105 = 75 ْ
محيط الدائرة = 2ط نق
88 = 2 ×(22/7) ×نق
نق = 14سم
أ َ /حا أ = 2نق
أ َ = جا 45 × 28 = 14جذر 2
بَ/حاب = 2نق
بَ= 28 × حا60 = 14 جذر 3
حـَ /حاحـ = 2نق
حـَ = 28 حا75 = 27سم

السؤال السابع عشر
حل المثلث أ ب جـ الذي فيه ق (أ) = 16 َ 33 ْ، ق (ح) = 6 َ 43 ْ
، بَ= 310 سم . ثم احسب مساحة سطحه وطول محيطه . احسب كذلك مساحة سطح وطول محيط الدائرة المارة برءوس المثلث . ط = (22/7) )
( الحل )
ق (ب) = 180º - [ ق(أ)+ ق(حـ)]
 ق (ب) = 180- [16 َ 33 ْ +6 َ 43 ْ ]= 38 َ 103 ْ
أ / حاأ = بَ/ حاب =حـَ / حاحـ
 أ / حا 16 َ 33 ْ = 310/ حا 38 َ 103 ْ =حـَ / حا 6 َ 43 ْ
 أ= (310 × حا 16 َ 33 ْ )/ حا 38 َ 103 =174.98 سم
حـ=( 310 × حا6 َ 43 ْ)/ حا 38 َ 103 ْ = 217.96 سم
مـ (المثلث أ ب جـ) = (1/2) أ ب جا جـ = (1/2) × 174.98×310× جا 6 َ 43 ْ
= 18531.68 سم2
محيط (المثلث أ ب جـ) = أ +بَ +حـَ = 174.98+310+217.96= 702.94 سم

نق = (ب َ/ 2 حا ب ) = (310 /2جا38 َ 103 ْ)= 159.49 سم


مساحة سطح الدائرة = ط نق2= (22/7) × ( 159.49 )= 79945.05 سم2
محيط الدائرة = 2ط نق = 2 × (22/7)× 159.49=1002.51 سم

السؤال الثامن عشر
أثبت أن مساحة المثلث أ ب ح = 2نق /أ َ بَ ح َ
الحل
مساحة المثلث =(1/2) أ َ بَ حاح
ولكن حاج = حَ/2نق
اذا مساحة المثلث =(1/2) أ َ بَ ×(حَ/2نق) = أ َ بَ ح َ/4نق
السؤال التاسع عشر
فى المثلث أ ب ح أثبت ان (1/حَ حاأ)+(1/أ َحاب)+(1/بَ حاح)=(محيط المثلث أ ب ج/ضعف مساحة المثلث )
الحل
الطرف الأيمن =(2نق/حَ أ َ)+(2نق/أَ بَ)+(2نق/بَ ج َ)
الطرف الأيمن =(2نق بَ+2نق حَ + 2نق أ َ )/ أ َ ب َ ح َ
الطرف الأيمن =2نق (أ َ + ب + حَ ) /أ َ بَ ح َ
الطرف الأيمن =(محيط المثلث )/ ضعف مساحة المثلث

فى المثلث ل م ن أثبت أن ( 1/ ن َ حا ل) + (1/ ل َ حا م ) + ( 1/ م َ حان ) = ح / مساحة المثلث ل م ن
حيث ح نصف محيط المثلث ل م ن
الحل
الطرف الأيمن
بما أن ن َ = 2 نق حا ن , ل َ = 2 نق حا ل , م َ = 2 نق حا م
بالتعويض بهما فى الطرف الأيمن
( 1 / 2 نق حا ن حا ل ) + ( 1 / 2 نق حا ل حا م ) + ( 1/ 2 نق حا م حان )


حا م + حان + حا ل (1)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 نق حا م حا ن حا ل

ولكن حا م + حان + حا ل = ( ل َ + م َ + ن َ )/ 2 نق = ح / نق (2)

2 نق حا م حا ن حا ل = 2 نق ×( م َ / 2نق ) × ( ن َ / 2 نق ) × حا ل

2 نق حا م حا ن حا ل = ( م َ × ن َ حا ل ) / 2نق = مساحة المثلث ل م ن / نق (3)
بالتعويض بـ 3 , 4 فى 1
اذا ( 1/ ن َ حا ل) + (1/ ل َ حا م ) + ( 1/ م َ حان) ) = ح / مساحة المثلث ل م ن)

أ ب حـ مثلث قائم الزاوية فى ب , ء تقع على أ حـ
أثبت أن ( حـ ء / ء أ ) = جذر 3 × طتا حـ


فى المثلث أ ء ب
( أ ء / حا 30 ْ ) = ( أ ب / حا ( < أ ء هـ ) )
2 أ ء = ( أ ب / حا ( < أ ء هـ ) ) (1)
فى المثلث ب ء حـ
(ء حـ / حا 60 ْ ) = ( ب حـ / حا ( < ب ء حـ))
ولكن حا ( < أ ء هـ ) = حا ( < ب ء حـ)
إذا (ء حـ / حا 60 ْ ) = ( ب حـ / حا ( < أ ء هـ ))
(2 ء حـ / جذر 3 ) = ( ب حـ / حا ( < أ ء هـ )) (2)

بقسمة (2 ) ÷ (1 )
إذا ( ء حـ / أ ء جذر 3 ) = ( ب حـ / أ ب )
ولكن طتا حـ = ب حـ / أ ب
إذا ( ء حـ / أ ء جذر 3 ) = طتا حـ
( حـ ء / ء أ ) = جذر 3 × طتا حـ

مشكوووووووووووووووووووووووووور

بارك الله فيك