الدوال المثلثية لضعف الزاوية

بشرط أن طا^2س =/=1

السؤال الأول
أوجد 2 حا15 ْ حتا 15 ْ = حا 30 ْ = 1/2
السؤال الثانى
2حتا ^2 60 ْ - 1 = حتا 120 = - حتا 60 ْ =-1/2
اسؤال الثالث
4 حتا 7.5 ْ جا 7.5 ْ جتا 15 ْ
2 ×2 حتا 7.5 ْ جا 7.5 ْ جتا 15 ْ
2 حا 15 ْ حتا 15 ْ = حا 30 ْ= 1/2

السؤال الرابع
2طا 30 ْ 22 ْ
ـــــــــ
1 – طا^2 30 َ 22 ْ
الحل
طا 45 ْ= 1
السؤال الحامس
1 – 2حا ^2 30 ْ 22 ْ
ــــــــــــــ
2حتا ^2 15 ْ – 1
الحل
حتا45 ْ
ــــــــــــــــ= جذر 6/ 3
حتا 30 ْ

السؤال السادس
جتا 25 ْ حا 35 ْ + حا 25 ْ حتا 35 ْ
ــــــــــــــــــــــــ
حا 15 ْ حتا 15 ْ
الحل
بضرب البسط والمقام فى 2
2 (جتا 25 ْ حا 35 ْ + حا 25 ْ حتا 35 ْ ) 2 حا60 ْ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= ــــــــــــ
2 حا15 ْ حتا 15 ْ حا30 ْ
= 2 جذر 3


السؤال السابع
أثبت أن جا 6 جا 66 جا 42 جا 78 = 1/16

إذن جا 6 جا 78 = جا 6 جتا 12 ----- (1)

والذى ينص على :جا 2 س = 2 جا س جتا س

نضرب ونقسم على 2 جتا 6 بسطا ومقاما فى المعادلة (1)

إذن جا 6 جا 78 = جا 12 جتا 12 / 2 جتا 6

أى جا 6 جا 78 = جا 24 / 4 جتا 6 ----- (2)

بما أن : جا 66 جا 42 = جتا 24 جا 42 --- (3)

من (2) ، (3)

إذن جا 6 جا 66 جا 42 جا 78 = جا 24 جتا 24 جا 42 / 4 جتا 6

إذن جا 6 جا 66 جا 42 جا 78 = جا 48 جا 42 / 8 جتا 6

إذن جا 6 جا 66 جا 42 جا 78 = جتا 42 جا 42 / 8 جتا 6

إذن جا 6 جا 66 جا 42 جا 78 = جا 84 / 16 جتا 6

إذن جا 6 جا 66 جا 42 جا 78 = جتا 6 / 16 جتا 6

إذن جا 6 جا 66 جا 42 جا 78 = 1 / 16

السؤال الثامن
أثبت أن :

جتا4س=8(جتاس)^4 - 8(جتاس)^2 +1
الحل
جتا 4س = 2 [جتا(2س)]^2 -1
= 2 [ 2جتا^2(س) -1]^2 ــ 1
= 2[ 4جتا^4 (س) ــ 4جتا^2(س) +1] ــ 1
= 8 جتا^4 (س) ــ 8جتا^2 (س) +2 ــ1
= 8جتا^4(س) ــ 8جتا^2 (س) +1

السؤال التاسع
أوجد حا 18 ْ
نفرض جا 2س = حتا 3س (1) بهذا 2س + 3س= 90
ومنها س= 18 ْ نحاول الحصول على س
من ( 1 )
2حاس حتا س = حتا ( 2س +س )
2جاس حتاس = جتا2س حتاس - حا2س حاس
2جاس حتاس = [2(جتا س)^2 -1 ]حتاس - 2حاس حتا س حاس
2حاس جتا س =2( حتاس)^3 - جتاس - 2(حاس)^2 جتاس بالقسمة على حتا س
2حاس = 2(حتاس)^2 - 1 - 2( حاس)^2 (2)
ولكن (جتاس)^2= 1 - (حاس)^2 (3)
بالتعويض بـ 3 فى 2
2حاس = 2 - 2(حاس)^2 -1 - 2( حاس)^2
4 (حاس)^2 +2حاس -1 = صفر
بحل المعادلة بأستخدام القانون العام
جا18 = (جذر5-1)/4

السؤال العاشر
أوجد جتا 18
الحل
نأتى بقيمة حا 18 ْ كما سبق
ثم نطبق قانون
(حتاس)^2 = 1- (حاس)^2
أكمل الحل

السؤال الحادى عشر
في اي مثلث أ ب جـ
اذا كان
3جا أ + 4جتا ب = 6 ، 4جا ب +3جتا أ = 1
اوجد قياس زاوية جـ
بتريع الأولى , والثانية
9 ( حاأ)^2 + 24 جا أ حتاب +16 (حتاب )^2 = 36 (1)
9( حتا أ )^2 + 24 جا أ حتاب +16 (حاب)^2=1 (2)
بجمع 1 +2
9 ([(حاأ)^2 + ( جتا أ)^2 ]+ 24 [حاأ جتاب + حتا أ حاب]+ 16 [(حتاب )^2 + (حاب)^2]=37 (3)
ولكن (حاأ)^2 + ( جتا أ)^2= 1 (4)
محموع زوايا المثلث = 180 ْ
حـ= 180 ْ - ( أ +ب) بأخذ حا الطرفين
جا حـ = حا( أ + ب) = حاأ جتاب + حتا أ حاب (5)
بالتعويض بـ 4 , 5 فى 3
25 + 24 حا حـ = 37
حاحـ = 1/2
حـ = 30 ْ , حـ = 150 ْ

السؤال الثانى عشر
(حتا ط/24 )^4 - (جاط/24)^4
الحل
[(حتا ط/24 )^2 - (جاط/24)^2][(حتا ط/24 )^2 +(جاط/24)^2]

جتا (ط/12) = جتا 15 ْ = جتا (60 ْ - 45 ْ ) = حتا ( 45 ْ -30 ْ)
ايا من المقدارين
حا 45 ْ حتا 30 ْ - حتا 45 ْ حا 30 ْ
= أكمل الحل

السؤال الثالث عشر
أثبت أن 3 – 4حتا2أ +حتا4 ا = 8 (حا أ)^4
الحل
3 - 4 ( 1 - 2 (حاأ)^2 ) + ( 2 (حتا 2أ)^2 -1 )
= 3 - 4 + 8( حا أ)^2 +2 ( 1 - 2حا^2 أ )^2 -1
= 3 - 4 + 8 (حا أ)^2 + 2 - 8 (حا أ)^2 + 8 (حا أ)^4 -1
= 8 (حا أ)^4


السؤال الرابع عشر
أثبت أن
طتا(أ/2) - طا(أ/2) = 2طتاأ
الحل

السؤال الخامس عشر
أثبت أن :
ظا87 - ظا3 = 2/ ظا 6



ظا87 = ظتا3 = 1/ظا3
ظا 87 - ظا 3= 1/ظا3 - ظا3= (1 - ظا^2(3))/ظا3

= 2*(1 - ظا^2(3))/2*ظا3 = 2/ظا6

السؤال السادس عشر

اثبت ان
2 (جا 2 أ )^2 + جتا 4 أ = 1
الحل
الايمن = 2 (جا 2 أ )^2 +2( جتا 2أ )^2- 1
= 2( (جا 2 أ )^ 2+( جتا 2أ )^2) - 1
ولكن ( (جا 2 أ )^ 2+( جتا 2أ )^2)= 1
= 2 - 1=1

السؤال السابع عشر
بدون إستخدام الألة الحاسبة

السؤال الثامن عشر
أثبت أن طا20 ْ طا 30 ْ طا 40 ْ = طا 10 ْ
الحل

السؤال التاسع عشر
أثبت أن جا54 ْ – جا 18 ْ = 1/2
الحل

السؤال العشرون
أثبت أن
1 – حتا ح + حا ح
ـــــــــــــــــــــــــــــــ = طا(ح/2)
1 + حتا ح + حا ح
الحل
1 – 1 + 2 جا2 (ح/2) + 2 حا(ح/2) حتا(ح/2)
=ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1 + 2 جتا2 (ح/2)-1+ 2 حا(ح/2) حتا(ح/2)


2حا ( ح/2) [2حا ( ح/2)+ حتا(ح/2)]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2حتا ( ح/2) [2حا ( ح/2)+ حتا(ح/2)]
= طا(ح/2)

السؤال الحادى والعشرون

السؤال الثانى والعشرون

الثالث والعشرون

الرابع والعشرون
اثبت ان جا3س = 3حاس - 4 جا^3 س
الأيمن = جا(2س +س )= حا2س حتا س + حتا2س حاس
ــــــــــــــ= 2حاس حتاس حتاس+ [ 1 - 2جا^2(س)]حاس
ــــــــــــــــ=2جاس حتا^2 س + حاس - 2جا^3 س
ولكن حتا^2س = 1- حا^2س
ـــــــــــــــ =2حاس ( 1- حا^2س ) +حاس - 2جا^3 س
ــــــــــــــــ= 2حاس - 2 حا^3 س + حاس - 2جا^3 س
ـــــــــــــــ= 3حاس - 4 جا^3 س

الخامس والعشرون
اثبت أن 3 - 4حتا 2س + حتا4س = 8 جا^4( س )
الحل
حتا4س = 2حتا^2 (س)- 1
الطرف الأيمن = 3 - 4حتا 2س +2حتا^2 (س)- 1
الطرف الأيمن= 2 - 4حتا 2س +2حتا^2 (س)
الطرف الأيمن = 2[ 1 - 2حتا2س + حتا^2 (س)]
الطرف الأيمن == 2 [1 - حتا2س]^2
ولكن جتا2س = 1- 2 جا^2 (س)
الطرف الأيمن = 2 [1 - 1 +2 جا^2 (س) ]^2
الطرف الأيمن =8 جا^4( س )

السادس والعشرون

السابع والعشرون
حل المعادلة الأتية حيث س تنتمى ]0 , 2ط [
جتا 4س = حتا ( س+ 180 )
الحل
2 ( حتا2س)^2 - 1 = - حتا س
2 [2 جتا ^2س - 1 ]^2 - 1 + حتاس = صفر
8 حتا^4 س - 8 حتا^2س + حتاس +1 = صفر
بالتحليل بالتقسيم اكمل الحل

السؤال الثامن والعشرون
أثبت أن :
ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س



ظا3س = ظا(2س + س) = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]

ظا3س - ظا2س - ظاس = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]- ظا2س - ظاس

= [1/(1 - ظا2س ظاس)]*[ظا2س + ظاس - ظا2س + ظا^2(2س)ظاس - ظاس + ظا2س ظا^2(س)]

= [ظا^2(2س)ظاس + ظا2س ظا^2(س)]/(1 - ظا2س ظاس)

= ظا2س ظاس (ظا2س + ظاس)/(1 - ظا2س ظاس)

= ظا3س ظا2س ظاس

حيث :

[ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس] = ظا3س